Mostre que a função possui sòmente um ponto crítico
no intervalo dado e determine se existe um máximo ou mínimo relativo. Determine também o máximo absoluto
eo mínimo absoluto
(se existirem) e trace o gráfico.
Passo 1
O enunciado pede para a função
definida no intervalo
:
– mostrar que há só um ponto crítico nesse intervalo,
– classificar esse ponto (máximo ou mínimo relativo),
– achar os extremos absolutos,
– e esboçar o gráfico.
Vamos usar derivadas para achar e classificar o ponto crítico e depois comparar valores em e nas bordas do intervalo.
– mostrar que há só um ponto crítico
– classificar esse ponto (máximo ou mínimo relativo),
– achar os extremos absolutos,
– e esboçar o gráfico.
Vamos usar derivadas para achar e classificar o ponto crítico e depois comparar valores em
Passo 2
Calculamos a derivada primeira para achar pontos críticos:
Igualando a zero,
Como
, este é o único ponto crítico no intervalo.
Passo 3
Para classificar
, usamos a segunda derivada:
Como
, a concavidade é para cima, logo
é um mínimo relativo.
Passo 4
Agora avaliamos
em
,
e
:
Comparando: o menor valor é
em
(mínimo absoluto) e o maior é
, que ocorre em
e em
(máximo absoluto).
Passo 5
Esboço do gráfico: é uma parábola com concavidade para cima e vértice em
. O domínio é restrito a
, onde a curva vai de
desce até
e sobe até
.
Resposta
O único ponto crítico é
, que é mínimo relativo.
O mínimo absoluto é
O mínimo absoluto é
e o máximo absoluto é
ocorrendo em
e
.
O gráfico é uma parábola com vértice em
sobre o intervalo
.