Mostre que a função possui sòmente um ponto crítico x0 no intervalo dado e determine se existe um máximo ou mínimo relativo. Determine também o máximo absoluto M eo mínimo absoluto m (se existirem) e trace o gráfico.
y=x^2-2 x, 0 <= x <= 2

Passo 1

O enunciado pede para a função
y = x^2 - 2x
definida no intervalo [0,2]:
– mostrar que há só um ponto crítico x0 nesse intervalo,
– classificar esse ponto (máximo ou mínimo relativo),
– achar os extremos absolutos,
– e esboçar o gráfico.
Vamos usar derivadas para achar e classificar o ponto crítico e depois comparar valores em x0 e nas bordas do intervalo.

Passo 2

Calculamos a derivada primeira para achar pontos críticos:
y' = ddx(x^2 - 2x) = 2x - 2
Igualando a zero,
2x - 2 = 0 implies x = 1
Como 1in[0,2], este é o único ponto crítico no intervalo.

Passo 3

Para classificar x=1, usamos a segunda derivada:
y'' = ddx(2x - 2) = 2
Como y''(1)=2>0, a concavidade é para cima, logo x=1 é um mínimo relativo.

Passo 4

Agora avaliamos y em x=0, x=1 e x=2:
y(0) = 0^2 - 2cdot0 = 0, y(1) = 1^2 - 2cdot1 = -1, y(2) = 2^2 - 2cdot2 = 0
Comparando: o menor valor é -1 em x=1 (mínimo absoluto) e o maior é 0, que ocorre em x=0 e em x=2 (máximo absoluto).

Passo 5

Esboço do gráfico: é uma parábola com concavidade para cima e vértice em (1,-1). O domínio é restrito a [0,2], onde a curva vai de (0,0) desce até (1,-1) e sobe até (2,0).

Resposta

O único ponto crítico é x0=1, que é mínimo relativo.
O mínimo absoluto é
m = y(1) = -1,
e o máximo absoluto é
M = 0,
ocorrendo em x=0 e x=2.
O gráfico é uma parábola com vértice em (1,-1) sobre o intervalo [0,2].

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