Quer se inscrever um cone circular reto numa esfera de raio a. Qual deve ser o raio da base do cone para que êste tenha um volume máximo?

Passo 1

O problema é inscrever num esfera de raio a um cone circular reto de base de raio r e altura h, de modo a maximizar o volume do cone. O conteúdo que vamos usar é otimização por derivada: primeiro criamos uma relação geométrica entre r, h e a (via Pitágoras), depois escrevemos o volume em função de uma única variável e por fim achamos o ponto crítico.

Passo 2

Para descrever o cone usemos um eixo vertical que passa pelo centro da esfera. Seja z0 a coordenada (no mesmo eixo) do plano da base do cone, medido a partir do centro da esfera, com o sentido positivo apontando para o vértice do cone. Então:
r = raiza^2 - z0^2, h = a - z0
O volume do cone é
V(z0) = pi3,r^2,h = pi3,(a^2 - z0^2),(a - z0)

Passo 3

Vamos maximizar V(z0). Defina
f(z0) = (a^2 - z0^2)(a - z0) = a^3 - a^2 z0 - a z0^2 + z0^3
Então
f'(z0) = -a^2 - 2a,z0 + 3,z0^2
Igualando a zero para achar extremos:
3z0^2 - 2a,z0 - a^2 = 0 ;Longrightarrow; z0 = 2a pm raiz4a^2+12a^26 = 2a pm 4a6
As soluções são z0 = a (volume nulo) e z0 = -tfraca3. O valor relevante para máximo é
z0 = -a3

Passo 4

No ponto ótimo z0=-tfraca3 o raio da base é
r = raiza^2 - l(-tfraca3r)^2 = raiza^2 - tfraca^29 = raiztfrac8a^29 = 2raiz23,a

Resposta

O raio da base do cone que maximiza o volume deve ser
r = 2raiz23,a

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