Quer se inscrever um cone circular reto numa esfera de raio
. Qual deve ser o raio da base do cone para que êste tenha um volume máximo?
Passo 1
O problema é inscrever num esfera de raio
um cone circular reto de base de raio
e altura
, de modo a maximizar o volume do cone. O conteúdo que vamos usar é otimização por derivada: primeiro criamos uma relação geométrica entre
,
e
(via Pitágoras), depois escrevemos o volume em função de uma única variável e por fim achamos o ponto crítico.
Passo 2
Para descrever o cone usemos um eixo vertical que passa pelo centro da esfera. Seja
a coordenada (no mesmo eixo) do plano da base do cone, medido a partir do centro da esfera, com o sentido positivo apontando para o vértice do cone. Então:
O volume do cone é
Passo 3
Vamos maximizar
. Defina
Então
Igualando a zero para achar extremos:
As soluções são
(volume nulo) e
. O valor relevante para máximo é
Passo 4
No ponto ótimo
o raio da base é
Resposta
O raio da base do cone que maximiza o volume deve ser