Um losango e um quadrado têm o mesmo perímetro. Determine a razão da área do losango para a área do quadrado, sabendo que o ângulo agudo formado por dois lados do losango mede 60^circ.

Passo 1

O enunciado diz que um losango e um quadrado têm o mesmo perímetro. No losango, o ângulo agudo entre dois lados mede 60^circ. Queremos a razão entre a área do losango e a área do quadrado.
Conteúdo necessário: perímetro de polígonos, área do quadrado e área do losango (usando lado e seno do ângulo).

Passo 2

Seja s o comprimento do lado do losango e a o do quadrado. Como os perímetros são iguais,
4s = 4a
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a = s

Passo 3

A área do losango em função do lado s e do ângulo theta é
Alosango = s^2 sintheta
Aqui theta = 60^circ, então
Alosango = s^2 sin 60^circ = s^2 raiz32
A área do quadrado de lado a=s é
Aquadrado = a^2 = s^2

Passo 4

A razão entre as áreas é
AlosangoAquadrado = s^2 dfracraiz32s^2 = raiz32

Resposta

raiz32

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