(Mackenzie-2001) Dado o número natural n= 2^8 3^2 5^4, os divisores positivos de n , que são múltiplos de 225, são em número de:
a) 36
b) 32
c) 28
d) 25
e) 27

Passo 1

O enunciado nos dá o número natural
n = 2^8cdot 3^2cdot 5^4
e pede quantos divisores positivos de n são múltiplos de 225. O conteúdo aqui é contagem de divisores via análise dos expoentes na fatoração prima.

Passo 2

Qualquer divisor positivo d de n tem a forma
d = 2^a3^b5^c
com 0 <= a <= 8, 0 <= b <= 2 e 0 <= c <= 4.

Passo 3

Para que d seja múltiplo de 225 (onde 225 = 3^2cdot5^2), é preciso ter b >= 2 e c >= 2. Como b não ultrapassa 2, isso fixa b=2. Já c pode ser 2,3 ou 4.

Passo 4

Logo, as escolhas possíveis são:
  • ain0,1,2,dots,8 (9 valores),
  • b=2 (1 valor),
  • cin2,3,4 (3 valores).
Pela regra do produto, o número de divisores desejados é
9 times 1 times 3 = 27

Resposta

e) 27

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