(Mackenzie-SP) Vinte apostadores compareceram a uma casa lotérica para participar de um “bolão”, cabendo a cada um pagar ou um mínimo de R$10,00, ou um valor maior, mas igual para todos, múltiplo de R$ 5,00; entretanto, para cada R$5,00 de aumento no valor da aposta, haverá a saída de um apostador. Dentre os valores abaixo, para se fazer um jogo de R$ 525,00, cada apostador deverá participar em reais, com a quantia de
a) 45
b) 50
c) 25
d) 35
e) 105

Passo 1

O enunciado diz que inicialmente há 20 apostadores e que cada um pagaria no mínimo ,R$10. Se aumentarmos a aposta em ,R$5, um apostador sai. Queremos um total de ,R$525. Vamos chamar de x a quantia em reais paga por cada apostador e de n o número de apostadores que efetivamente participam.

Passo 2

Como cada aumento de ,R$5 na aposta faz um apostador sair, se fizermos k aumentos de ,R$5 acima dos ,R$10 iniciais, então
x = 10 + 5k
e
n = 20 - k

Passo 3

O valor total arrecadado deve ser
x cdot n = 525
Substituindo x e n:
(10 + 5k)(20 - k) = 525

Passo 4

Multiplicando e rearranjando:
(10+5k)(20-k)=200 +90k -5k^2 =525 Longrightarrow -5k^2 +90k -325 = 0 Longrightarrow 5k^2 -90k +325 = 0
O discriminante é
De<a = (-90)^2 -4cdot5cdot325 =8100 -6500 =1600,
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k = 90 pm 4010 ;Longrightarrow; k = 5 ou k = 13

Passo 5

Para k=5:
x = 10 +5cdot5 = 35, n = 20 -5 = 15, 35cdot15=525
Para k=13:
x = 10 +5cdot13 = 75, n = 20 -13 = 7, 75cdot7=525
Das opções dadas (45,50,25,35,105), apenas ,35 aparece.

Resposta

35

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