A maioria das funções especiais da física matemática pode ser gerada (definida) por uma função geradora da forma
g(t, x)=sumn fn(x) t^n
Dadas as seguintes representações integrais, derive as funções geradoras correspondentes:
Hermite:
Hn(x)=n!2 pi i oint e^-t^2+2 t x t^-n-1 d t

Passo 1

O enunciado nos dá a representação integral dos polinômios de Hermite
Hn(x)=n!2pi ioint e^-t^2+2tx,t^-n-1,dt
e pede a função geradora
g(u,x)=sumn=0^inftyHn(x)n!,u^n
Vamos usar a fórmula de extração de coeficiente pela integral de Cauchy: se
f(t)=sumn=0^inftyant^n,
então
an=12pi ioint f(t),t^-n-1,dt

Passo 2

Comparando
Hn(x)n! =12pi ioint e^-t^2+2tx,t^-n-1,dt
com
an=12pi ioint f(t),t^-n-1,dt,
vemos que
f(t)=e^-t^2+2tx, an=Hn(x)n!
Isto mostra que na expansão em potências de t
e^-t^2+2tx =sumn=0^inftyan,t^n,
os coeficientes são an=Hn(x)/n!.

Passo 3

Substituindo an na série, obtemos diretamente a função geradora exponencial:
sumn=0^inftyHn(x)n!,u^n = e^-u^2+2u x

Resposta

sumn=0^inftyHn(x)n!,t^n = e^-t^2+2t x

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