A maioria das funções especiais da física matemática pode ser gerada (definida) por uma função geradora da forma
g(t, x)=\sum_{n} f_{n}(x) t^{n}
Dadas as seguintes representações integrais, derive as funções geradoras correspondentes:
Hermite:
H_{n}(x)=\frac{n!}{2 \pi i} \oint e^{-t^{2}+2 t x} t^{-n-1} d t

Passo 1

O enunciado nos dá a representação integral dos polinômios de Hermite
H_{n}(x)=\frac{n!}{2\pi i}\oint e^{-t^{2}+2tx}\,t^{-n-1}\,dt
e pede a função geradora
g(u,x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{H_{n}(x)}{n!}\,u^{n}.
Vamos usar a fórmula de extração de coeficiente pela integral de Cauchy: se
f(t)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}t^{n},
então
a_{n}=\frac{1}{2\pi i}\oint f(t)\,t^{-n-1}\,dt.

Passo 2

Comparando
\frac{H_{n}(x)}{n!} =\frac{1}{2\pi i}\oint e^{-t^{2}+2tx}\,t^{-n-1}\,dt
com
a_{n}=\frac{1}{2\pi i}\oint f(t)\,t^{-n-1}\,dt,
vemos que
f(t)=e^{-t^{2}+2tx}, \quad a_{n}=\frac{H_{n}(x)}{n!}.
Isto mostra que na expansão em potências de t
e^{-t^{2}+2tx} =\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}\,t^{n},
os coeficientes são a_{n}=H_{n}(x)/n!.

Passo 3

Substituindo a_{n} na série, obtemos diretamente a função geradora exponencial:
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{H_{n}(x)}{n!}\,u^{n} = e^{-u^{2}+2u x}.

Resposta

\sum_{n=0}^{\infty}\frac{H_{n}(x)}{n!}\,t^{n} = e^{-t^{2}+2t x}.

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