A maioria das funções especiais da física matemática pode ser gerada (definida) por uma função geradora da forma
Dadas as seguintes representações integrais, derive as funções geradoras correspondentes:
Hermite:
Hermite:
Passo 1
O enunciado nos dá a representação integral dos polinômios de Hermite
e pede a função geradora
Vamos usar a fórmula de extração de coeficiente pela integral de Cauchy: se
então
Passo 2
Comparando
com
vemos que
Isto mostra que na expansão em potências de
os coeficientes são
.
Passo 3
Substituindo
na série, obtemos diretamente a função geradora exponencial: