Um matemático (com pretensões a carpinteiro) compra uma peça de madeira de comprimento suficiente para cortar os 20 degraus de uma escada de obra. Se os comprimentos dos degraus formam uma progressão aritmética, se o primeiro degrau mede 50 cm e o último 30 cm e supondo que não há desperdício de madeira no corte, determine o comprimento mínimo da peça.
Passo 1
O enunciado diz que temos
degraus cujos comprimentos formam uma progressão aritmética de primeiro termo
cm e vigésimo termo
cm. Como não há desperdício, o comprimento mínimo da peça é a soma de todos os termos dessa PA. Para resolver, usaremos a fórmula do termo geral para encontrar a razão
e a fórmula da soma dos termos de uma PA.
Passo 2
Numa progressão aritmética, o termo geral é
Substituindo
,
cm e
cm, obtemos
Passo 3
A soma dos
termos de uma PA é dada por
Aqui
,
cm e
cm, então
Resposta
O comprimento mínimo da peça é
cm (ou
m).