Um matemático (com pretensões a carpinteiro) compra uma peça de madeira de comprimento suficiente para cortar os 20 degraus de uma escada de obra. Se os comprimentos dos degraus formam uma progressão aritmética, se o primeiro degrau mede 50 cm e o último 30 cm e supondo que não há desperdício de madeira no corte, determine o comprimento mínimo da peça.

Passo 1

O enunciado diz que temos 20 degraus cujos comprimentos formam uma progressão aritmética de primeiro termo a1=50 cm e vigésimo termo a20=30 cm. Como não há desperdício, o comprimento mínimo da peça é a soma de todos os termos dessa PA. Para resolver, usaremos a fórmula do termo geral para encontrar a razão d e a fórmula da soma dos termos de uma PA.

Passo 2

Numa progressão aritmética, o termo geral é
an = a1 + (n-1),d
Substituindo n=20, a20=30 cm e a1=50 cm, obtemos
30 = 50 + (20-1),d Longrightarrow 19,d = 30 - 50 = -20 Longrightarrow d = -2019 cm

Passo 3

A soma dos n termos de uma PA é dada por
Sn = n,(a1 + an)2
Aqui n=20, a1=50 cm e a20=30 cm, então
S20 = 20,(50 + 30)2 = 20 times 40 = 800 cm

Resposta

O comprimento mínimo da peça é 800 cm (ou 8 m).

Exercícios de Livros Relacionados