Em uma matriz quadrada de ordem
, os elementos de cada linha estão em P.G. Mostre que o determinante de M se anula quando, e somente quando, duas progressões têm a mesma razão.
Passo 1
O enunciado diz que temos uma matriz quadrada
de ordem
, em que cada linha é uma progressão geométrica (P.G.). Precisamos mostrar que
se, e somente se, existem duas linhas cuja razão da P.G. é a mesma. Para isso vamos parametrizar cada linha por seu primeiro termo e sua razão, e usar o determinante de Vandermonde.
se, e somente se, existem duas linhas cuja razão da P.G. é a mesma. Para isso vamos parametrizar cada linha por seu primeiro termo e sua razão, e usar o determinante de Vandermonde.
Passo 2
Seja a
-ésima linha de
a P.G. de primeiro termo
e razão
. Então o elemento da linha
e coluna
é
Passo 3
Como fator comum em cada linha
temos
, podemos retirar esse fator do determinante. Logo,
Passo 4
A matriz
é a clássica matriz de Vandermonde, cujo determinante vale
Portanto
Passo 5
Para que
é preciso que algum fator do produto seja zero. Se assumirmos
para todo
(caso contrário teríamos uma linha nula trivial), então o único modo de anular
é ter
isto é, duas razões iguais. Recíproco também vale: se
então
.