Em uma matriz quadrada de ordem n >= 3, os elementos de cada linha estão em P.G. Mostre que o determinante de M se anula quando, e somente quando, duas progressões têm a mesma razão.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma matriz quadrada M de ordem n>=3, em que cada linha é uma progressão geométrica (P.G.). Precisamos mostrar que
det M=0
se, e somente se, existem duas linhas cuja razão da P.G. é a mesma. Para isso vamos parametrizar cada linha por seu primeiro termo e sua razão, e usar o determinante de Vandermonde.

Passo 2

Seja a i-ésima linha de M a P.G. de primeiro termo ai e razão ri. Então o elemento da linha i e coluna j é
Mi,j = ai,ri^,j-1, i,j=1,dots,n

Passo 3

Como fator comum em cada linha i temos ai, podemos retirar esse fator do determinante. Logo,
det M = detl[,ai,ri^,j-1r] = l(prodi=1^n air);detl[ri^,j-1r]

Passo 4

A matriz l[ri^,j-1r]i,j=1^n é a clássica matriz de Vandermonde, cujo determinante vale
detl[ri^,j-1r] = prod1<= i<k<= n (rk - ri)
Portanto
det M = l(prodi=1^n air);prod1<= i<k<= n(rk - ri)

Passo 5

Para que det M=0 é preciso que algum fator do produto seja zero. Se assumirmos aineq0 para todo i (caso contrário teríamos uma linha nula trivial), então o único modo de anular det M é ter
rk - ri = 0 para algum i<k,
isto é, duas razões iguais. Recíproco também vale: se ri=rk então det M=0.

Resposta

det M=0 se, e somente se, existem duas progressões geométricas (duas linhas) com a mesma razão.

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