Uma matriz
é dita ser simétrica transversal se
. Se
for uma matriz simétrica transversal, mostre que
.
Passo 1
O enunciado diz que temos uma matriz quadrada
de ordem
tal que
Queremos mostrar que
.
Para isso vamos usar duas propriedades fundamentais do determinante:
.
.
.
para qualquer escalar
.
Para isso vamos usar duas propriedades fundamentais do determinante:
Passo 2
Da igualdade
tiramos
Pelo item
,
. Pelo item
,
Logo,
Passo 3
Agora distinguimos os casos de
par e
ímpar:
-
Se
for par, então e a igualdade fica , que não impõe nada sobre . -
Se
for ímpar, então e ficamos com
Resposta
Quando
é ímpar, qualquer matriz satisfazendo
tem