Uma matriz A n times n é dita ser simétrica transversal se A^T =-A. Se A for uma matriz simétrica transversal, mostre que det A=0.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma matriz quadrada A de ordem n tal que
A^T = -A
Queremos mostrar que det(A)=0.
Para isso vamos usar duas propriedades fundamentais do determinante:
1. det(A^T)=det(A).
2. det(c,A) = c^n,det(A) para qualquer escalar c.

Passo 2

Da igualdade A^T = -A tiramos
det(A^T) ;=;det(-A)
Pelo item 1, det(A^T)=det(A). Pelo item 2,
det(-A) = (-1)^n,det(A)
Logo,
det(A) = (-1)^n,det(A) Longrightarrow l(1 - (-1)^nr)det(A) = 0

Passo 3

Agora distinguimos os casos de n par e n ímpar:
  • Se n for par, então (-1)^n=1 e a igualdade fica 0cdotdet(A)=0, que não impõe nada sobre det(A).
  • Se n for ímpar, então (-1)^n=-1 e ficamos com
    (1 - (-1)),det(A) = 2,det(A) = 0 Longrightarrow det(A) = 0

Resposta

Quando n é ímpar, qualquer matriz satisfazendo A^T = -A tem
det(A) = 0

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