(UE-CE) A medida do perímetro do triângulo retângulo cujas medidas dos raios das circunferências inscrita e circunscrita são, respectivamente, 2 m e 6,5 m é
a) 21 m
b) 24 m
c) 28 m
d) 30 m

Passo 1

O enunciado nos dá um triângulo retângulo com raio da circunferência inscrita r=2 e raio da circunferência circunscrita R=6,5. Precisamos achar o perímetro P=a+b+c, onde a e b são os catetos e c a hipotenusa. Para isso vamos usar:
– Fórmula do raio circunscrito em triângulo retângulo: R = tfracc2.
– Fórmula do raio inscrito: r = tfraca+b-c2.
– Teorema de Pitágoras: a^2 + b^2 = c^2.

Passo 2

Da relação ;R = tfracc2; segue
c = 2R = 2 cdot 6,5 = 13

Passo 3

Da relação ;r = tfraca+b-c2; obtemos
a + b = 2r + c = 2 cdot 2 + 13 = 17

Passo 4

Pelo Pitágoras temos
a^2 + b^2 = c^2 = 13^2 = 169
E a identidade
(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab
17^2 = 169 + 2ab Longrightarrow 2ab = 289 - 169 = 120 Longrightarrow ab = 60

Passo 5

Os catetos a e b são raízes da equação
t^2 - (a+b),t + ab = t^2 - 17t + 60 = 0,
cuja solução é t=5 ou t=12. Logo a,b=5,12.

Passo 6

Finalmente, o perímetro é
P = a + b + c = 5 + 12 + 13 = 30

Resposta

30 m

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