As medidas das geratrizes maior e menor de um tronco de cilindro de revolução são, respectivamente, 10 cm e 8 cm . Determine a medida do raio da seção reta, sabendo que a área lateral do tronco de cilindro mede 54 pi cm^2.

Passo 1

O enunciado fala de um tronco de cilindro gerado por corte oblíquo numa base circular de raio r. As geratrizes (isto é, as arestas formadas pela interseção das geratrizes do cilindro com o plano de corte) variam em comprimento de maneira senoidal, tendo medida mínima gmin = 8,cm e máxima gmax = 10,cm. Pede-se r, sabendo que a área lateral desse tronco é 54pi,c m^2. Vamos usar o fato de que a área lateral de um cilindro oblíquo é a integral ao longo de todo o perímetro das geratrizes.

Passo 2

Seja g(theta) o comprimento da geratriz que corresponde ao ponto de ângulo theta na base (com thetain[0,2pi]). A área lateral é
S = integral0^2pi l(a<ura localr)times(e<=mento de comprimento) = integral0^2pi g(theta)times r,dtheta = rintegral0^2pig(theta),dtheta
Como g(theta) é função senoidal de média aritmética l(gmax+gminr)/2, temos
integral0^2pig(theta),dtheta =2pi;gmax+gmin2 =pi,(gmax+gmin)
Logo
S = r;pi,(gmax+gmin)

Passo 3

Substituindo gmax = 10,cm, gmin = 8,cm e S = 54pi,c m^2 na fórmula
54pi = r;pi;(10 + 8) = 18pi,r
segue
r = 54pi18pi = 3 cm

Resposta

O raio da seção reta é 3 cm.

Exercícios de Livros Relacionados