Mostrar que o produto
, sendo
um algarismo, é kkk.kkk.kkk
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para
um dígito não nulo, o produto
é igual ao número formado por nove dígitos todos iguais a
, escrito em grupos de três como
. O que vamos usar é a ideia de repunit (número formado só por algarismos 1) e soma de progressão geométrica.
Passo 2
Primeiro calculamos
Note que
então
Esse é o repunit de nove dígitos: a soma da progressão geométrica
é
.
Passo 3
Agora multiplicamos esse repunit por
:
Como cada casa decimal de
vale 1 em potências de dez diferentes, ao multiplicar por
cada casa vira
. Logo o resultado é o número de nove dígitos todos iguais a
. Escrevendo de três em três dígitos: