Mostrar que o produto 12345679 times 9 times k, sendo k neq 0 um algarismo, é kkk.kkk.kkk

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para k um dígito não nulo, o produto
12345679 times 9 times k
é igual ao número formado por nove dígitos todos iguais a k, escrito em grupos de três como kkkkkkkkk. O que vamos usar é a ideia de repunit (número formado só por algarismos 1) e soma de progressão geométrica.

Passo 2

Primeiro calculamos
12345679 times 9
Note que
12345679 = 10^9-19 times 9 = 10^9-181,
então
12345679 times 9 = 10^9-19 = 111,111,111
Esse é o repunit de nove dígitos: a soma da progressão geométrica
10^8 + 10^7 + cdots + 10^0
é tfrac10^9-19.

Passo 3

Agora multiplicamos esse repunit por k:
111,111,111 times k
Como cada casa decimal de 111,111,111 vale 1 em potências de dez diferentes, ao multiplicar por k cada casa vira k. Logo o resultado é o número de nove dígitos todos iguais a k. Escrevendo de três em três dígitos:
111,111,111 times k = kkkkkkkkk

Resposta

kkkkkkkkk

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