Suponha que a série
convirja para uma função analítica
em algum anel
. Essa soma
é denominada a transformada
de
.* Use a expressão dos coeficientes de séries de Laurent (5) da Seção 66 para mostrar que, se o anel contém o círculo unitário
, então a transforma
inversa de
pode ser escrita como
Passo 1
O enunciado define a transformada
de uma sequência
como
válida em um anel
que contém o círculo unitário
. Precisamos usar a expressão dos coeficientes de uma série de Laurent para recuperar
a partir de
.
Passo 2
Lembramos que, se uma função analítica
em um anel
admite a expansão de Laurent
então os coeficientes são dados por
onde
.
Passo 3
No nosso caso
e
Comparando com a forma de Laurent, vemos que o coeficiente
de
é
. Logo
Fazendo
obtemos
Passo 4
Parametrizamos o contorno pelo círculo unitário:
, com
. Então
Substituindo na integral,