Suponha que a série
sumn=-infty^infty x[n] z^-n
convirja para uma função analítica X(z) em algum anel R1<|z|<R2. Essa soma X(z) é denominada a transformada z de x[n](n=0, pm 1, pm 2, ldots).* Use a expressão dos coeficientes de séries de Laurent (5) da Seção 66 para mostrar que, se o anel contém o círculo unitário |z|=1, então a transforma z inversa de X(z) pode ser escrita como
x[n]=12 pi integral-pi^pi X(e^i theta) e^i n theta d theta (n=0, pm 1, pm 2, ldots)

Passo 1

O enunciado define a transformada z de uma sequência x[n] como
X(z)=sumn=-infty^inftyx[n],z^-n,
válida em um anel R1<|z|<R2 que contém o círculo unitário |z|=1. Precisamos usar a expressão dos coeficientes de uma série de Laurent para recuperar x[n] a partir de X(z).

Passo 2

Lembramos que, se uma função analítica f(z) em um anel R1<|z|<R2 admite a expansão de Laurent
f(z)=sumk=-infty^inftyak,z^k,
então os coeficientes são dados por
ak=12pi ioint|z|=rhof(z),z^-k-1dz,
onde R1<rho<R2.

Passo 3

No nosso caso f(z)=X(z) e
X(z)=sumn=-infty^inftyx[n],z^-n =summ=-infty^inftyx[-m],z^m
Comparando com a forma de Laurent, vemos que o coeficiente am de z^m é x[-m]. Logo
x[-m] =12pi ioint|z|=1X(z),z^-m-1dz
Fazendo m=-n obtemos
x[n] =12pi ioint|z|=1X(z),z^n-1dz

Passo 4

Parametrizamos o contorno pelo círculo unitário: z=e^itheta, com thetain[-pi,pi]. Então
dz=i,e^ithetadtheta, z^n-1dz =e^i(n-1)theta,i,e^ithetadtheta =i,e^i nthetadtheta
Substituindo na integral,
x[n] =12pi iintegral-pi^piXl(e^ithetar),i,e^i nthetadtheta =12piintegral-pi^piXl(e^ithetar)e^i nthetadtheta

Resposta

x[n] =12piintegral-pi^piXl(e^ithetar)e^i nthetadtheta, n=0,pm1,pm2,ldots

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