Mostre que:
(2903)^n-(803)^n-(464)^n+(261)^n é divisível por 1897.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a sequência
(2903)^n ;-;(803)^n;-;(464)^n;+;(261)^n
é divisível por 1897 para todo ninN.
Vamos usar aritmética modular, decompor 1897 em fatores primos e provar que a expressão é 0 módulo cada fator.

Passo 2

Fatoramos 1897. Notamos que
1897 = 7 times 271
Para que algo seja divisível por 1897, basta mostrar que é 0 módulo 7 e módulo 271.

Passo 3

Verificação módulo 7. Primeiro reduzimos cada base módulo 7:
2903 equiv 5 pmod7, 803 equiv 5 pmod7, 464 equiv 2 pmod7, 261 equiv 2 pmod7
Logo, em módulo 7,
(2903)^n-(803)^n-(464)^n+(261)^n equiv 5^n - 5^n - 2^n + 2^n = 0
Isso prova que a expressão é múltipla de 7.

Passo 4

Verificação módulo 271. Reduzimos cada base módulo 271:
2903 equiv 193 pmod271, 803 equiv 261 pmod271, 464 equiv 193 pmod271, 261 equiv 261 pmod271
Então, em módulo 271,
(2903)^n-(803)^n-(464)^n+(261)^n equiv 193^n - 261^n - 193^n + 261^n = 0
Isso prova que a expressão é múltipla de 271.

Passo 5

Como mostramos que a expressão é 0 módulo 7 e 0 módulo 271, concluímos que ela é 0 módulo 7cdot271=1897. Portanto, para todo ninN,
(2903)^n-(803)^n-(464)^n+(261)^n
é divisível por 1897.

Resposta

A expressão é divisível por 1897 para todo n.

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