Mostre que
& senh(a-b)=senh a cdot cosh b-cosh a cdot senh b & cosh (a-b)=cosh a cdot cosh b-senh a cdot senh b

Passo 1

O problema pede para mostrar as fórmulas de subtração das funções hiperbólicas
senh(a-b) e cosh(a-b).
Para isso vamos usar as definições em termos de exponenciais:
senhx=e^x-e^-x2, cosh x=e^x+e^-x2

Passo 2

Vamos calcular senh(a-b) pela definição:
senh(a-b) &=e^,a-b-e^-(a-b)2 =e^ae^-b-e^-ae^b2
Agora reescrevemos o numerador somando e subtraindo termos de modo a usar as definições de cosh e senh:
e^ae^-b-e^-ae^b &=l(e^a+e^-ar)l(e^-b-e^br),/2 +l(e^a-e^-ar)l(e^-b+e^br),/2 &=2,cosh a;l(-sinh br)+2,sinh a;cosh b &=2l(sinh a,cosh b-cosh a,sinh br)
Dividindo por 2 dá
senh(a-b)=sinh a,cosh b-cosh a,sinh b,
isto é,
senh(a-b)=senhacdotcosh b-cosh acdotsenhb

Passo 3

Agora fazemos cosh(a-b) pela definição:
cosh(a-b) &=e^,a-b+e^-(a-b)2 =e^ae^-b+e^-ae^b2
Reescrevendo o numerador:
e^ae^-b+e^-ae^b &=l(e^a+e^-ar)l(e^-b+e^br),/2 -l(e^a-e^-ar)l(e^b-e^-br),/2 &=2,cosh a,cosh b-2,sinh a,sinh b
e, ao dividir por 2, vem
cosh(a-b)=cosh acdotcosh b-sinh acdotsinh b,
ou seja
cosh(a-b)=cosh acdotcosh b-senhacdotsenhb

Resposta

boxed senh(a-b)&=senhacdotcosh b-cosh acdotsenhb, cosh(a-b)&=cosh acdotcosh b-senhacdotsenhb

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