Mostre que uma caixa retangular com tampa e volume dado terá a menor área de superfície se for cúbica.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, entre todas as caixas retangulares com tampa que têm volume fixo V, aquela que minimiza a área de superfície é a que tem todas as arestas iguais, ou seja, um cubo. O conteúdo envolvido é otimização com restrição (volume constante) usando derivadas parciais.

Passo 2

Sejam x, y e z as arestas da base e da altura da caixa, todas positivas. O volume fixo é
xyz = V
A área de superfície com tampa (topo e base) é
A = 2(xy + xz + yz)

Passo 3

Usamos a restrição para eliminar z. Da equação xyz=V segue
z = Vxy
Substituindo em A obtemos
A(x,y) =2l(xy + xVxy + yVxyr) =2l(xy + Vy + Vxr)

Passo 4

Para encontrar o mínimo, calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
partial Apartial x =2l(y - Vx^2r)=0 Longrightarrow y = Vx^2,
partial Apartial y =2l(x - Vy^2r)=0 Longrightarrow x = Vy^2
Das duas igualdades segue x^2y=V e y^2x=V. Dividindo-as percebe-se que x=y. Então
x^3 = V Longrightarrow x = raiz[3]V,
e, pela restrição,
z = Vx^2 = V(raiz[3]V)^2 = raiz[3]V

Passo 5

Como a função A(x,y) para x,y>0 é estritamente convexa, o ponto crítico encontrado é de mínimo global. Logo x=y=z minimiza A.

Resposta

A caixa de menor área de superfície, dada xyz=V, é a que tem
x=y=z=raiz[3]V,
ou seja, um cubo.

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