Mostre que uma caixa retangular com tampa e volume dado terá a menor área de superfície se for cúbica.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, entre todas as caixas retangulares com tampa que têm volume fixo
, aquela que minimiza a área de superfície é a que tem todas as arestas iguais, ou seja, um cubo. O conteúdo envolvido é otimização com restrição (volume constante) usando derivadas parciais.
Passo 2
Sejam
,
e
as arestas da base e da altura da caixa, todas positivas. O volume fixo é
A área de superfície com tampa (topo e base) é
Passo 3
Usamos a restrição para eliminar
. Da equação
segue
Substituindo em
obtemos
Passo 4
Para encontrar o mínimo, calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
Das duas igualdades segue
e
. Dividindo-as percebe-se que
. Então
e, pela restrição,
Passo 5
Como a função
para
é estritamente convexa, o ponto crítico encontrado é de mínimo global. Logo
minimiza
.
Resposta
A caixa de menor área de superfície, dada
, é a que tem
ou seja, um cubo.