Mostre que o coeficiente de x^3 no desenvolvimento de (1+3 x+2 x^2)^10 é 3780 .

Passo 1

O enunciado pede o coeficiente de x^3 em (1+3x+2x^2)^10. Vamos usar o Teorema multinomial, que generaliza o Teorema binomial para três termos, e identificar termos cuja soma dos graus em x seja 3.

Passo 2

No desenvolvimento de (1+3x+2x^2)^10, cada termo resulta de escolher k vezes o fator 3x, m vezes o fator 2x^2 e, portanto, 10-k-m vezes o fator 1. A potência de x desse termo é k + 2m e seu coeficiente geral é
10!(10-k-m)!,k!,m!,cdot 1^10-k-m,cdot 3^k,cdot 2^m

Passo 3

Para obter x^3, impomos
k + 2m = 3
As soluções em inteiros não negativos são (k,m) = (3,0) e (k,m) = (1,1).

Passo 4

Calculamos a contribuição de cada caso:
Para (k,m) = (3,0):
10!7!,3!,0!,cdot 3^3,cdot 2^0 =120cdot27 =3240
Para (k,m) = (1,1):
10!8!,1!,1!,cdot 3^1,cdot 2^1 =90cdot6 =540
Somando as contribuições, obtemos 3240 + 540 = 3780.

Resposta

O coeficiente de x^3 em (1+3x+2x^2)^10 é 3780.

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