Mostre que cosh 2 a=cosh ^2 a+senh^2 a.

Passo 1

O enunciado nos pede para provar a identidade de ângulo duplo para o cosseno hiperbólico:
cosh(2a)=cosh^2(a)+sinh^2(a)
Vamos usar as definições de cosh e sinh em termos de exponenciais.

Passo 2

Pelas definições,
cosh a = e^a + e^-a2, sinh a = e^a - e^-a2

Passo 3

Formamos o lado direito da identidade:
cosh^2a + sinh^2a = l(e^a+e^-a2r)^2 + l(e^a-e^-a2r)^2

Passo 4

Expandindo e somando termos semelhantes:
cosh^2a + sinh^2a = (e^a+e^-a)^2 + (e^a-e^-a)^24 = e^2a + 2 + e^-2a + e^2a - 2 + e^-2a4 = 2,(e^2a+e^-2a)4 = e^2a+e^-2a2 = cosh(2a)

Resposta

Portanto, está demonstrado que
cosh(2a)=cosh^2(a)+sinh^2(a)

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