Mostre que, se (a, b, c) é uma P.A., então (a^2 b c, a b^2 c, a b c^2) também é.

Solução

Temos, por hipótese, b-a=c-b=r. Então:
a b^2 c-a ^2 b c=a b c(b-a)=a b c r=a b c(c-b)=a b c^2-a b^2 c.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se (a,b,c) é uma P.A. com razão r, então a sequência l(a^2bc,;ab^2c,;abc^2r) também é P.A. Vamos usar a definição de P.A.: três números x,y,z formam uma P.A. se, e somente se,
y - x ;=; z - y

Passo 2

Como (a,b,c) é P.A., existe r tal que
b - a = r e c - b = r
Multiplicando cada diferença por abc, obtemos
a b^2 c - a^2 b c = a b c,(b - a) = a b c,r
e
a b c^2 - a b^2 c = a b c,(c - b) = a b c,r
Como as duas diferenças são iguais, concluímos que l(a^2bc,;ab^2c,;abc^2r) é uma P.A.

Resposta

A sequência l(a^2bc,;ab^2c,;abc^2r) forma uma P.A. com razão abc,r.

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