Se sumx=5^n+5 4(x-3)=A n^2+B n+C, calcule o valor de A+B.

Passo 1

O enunciado pede a soma
S(n)=sumx=5^,n+54(x-3)
e diz que isso se escreve como
S(n)=A,n^2+B,n+C
O objetivo é achar A+B. Para isso vamos usar a ideia de soma de termos de uma progressão aritmética (ou soma de uma função linear).

Passo 2

Primeiro, note que
4(x-3)=4x-12,
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S(n)=sumx=5^,n+5l(4x-12r) =sumx=5^,n+54x;-;sumx=5^,n+512

Passo 3

Calcule separadamente cada soma. Há n+1 termos no somatório, pois de x=5 até x=n+5 são (n+5)-5+1=n+1 valores de x.
  • Para sumx=5^,n+512, como cada termo vale 12 e há n+1 termos, dá
sumx=5^,n+512=12,(n+1)
  • Para sumx=5^,n+54x, use a fórmula da soma de inteiros:
sumx=5^,n+5x =sumk=1^,n+5k;-;sumk=1^4k =(n+5)(n+6)2-4cdot52 =(n+5)(n+6)2-10
Multiplicando por 4,
sumx=5^,n+54x =4l[(n+5)(n+6)2-10r] =2(n+5)(n+6)-40

Passo 4

Agora reúna as duas somas:
S(n) =l[2(n+5)(n+6)-40r];-;12(n+1)
Expanda e organize em potências de n:
2(n+5)(n+6)=2(n^2+11n+30)=2n^2+22n+60,
então
S(n)=(2n^2+22n+60)-40-12n-12 =2n^2+(22n-12n)+(60-40-12) =2n^2+10n+8

Passo 5

Comparando com A,n^2+B,n+C, temos
A=2, B=10, C=8
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A+B=2+10=12

Resposta

12

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