Mostre que
é um quadrado perfeito.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que a expressão
é sempre um quadrado perfeito. O conteúdo aqui é manipulação de fatoriais e fatoração algébrica.
Passo 2
Começamos reescrevendo
em função de
. Por definição de fatorial,
e sabemos também que
Passo 3
Substituindo
em
, obtemos
Logo o numerador original vira
Agora fatoramos
em evidência:
Passo 4
Dentro dos colchetes temos
Portanto o numerador fica
Passo 5
Agora dividimos pelo denominador
. Cancelando esse fator comum, sobra
que é claramente um quadrado perfeito.