Mostre que (n+2)!+(n+1) cdot(n-1)!(n+1) cdot(n-1)! é um quadrado perfeito.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que a expressão
(n+2)! + (n+1),(n-1)!(n+1),(n-1)!
é sempre um quadrado perfeito. O conteúdo aqui é manipulação de fatoriais e fatoração algébrica.

Passo 2

Começamos reescrevendo (n+2)! em função de (n-1)!. Por definição de fatorial,
(n+2)! ;=;(n+2),(n+1),n!
e sabemos também que
n! ;=;n,(n-1)!

Passo 3

Substituindo n!=n,(n-1)! em (n+2)!, obtemos
(n+2)! = (n+2),(n+1),n,(n-1)!
Logo o numerador original vira
(n+2),(n+1),n,(n-1)! ;+; (n+1),(n-1)!
Agora fatoramos (n+1),(n-1)! em evidência:
(n+1),(n-1)!,l[(n+2),n + 1r]

Passo 4

Dentro dos colchetes temos
(n+2),n + 1 ;=; n^2 + 2n + 1 ;=; (n+1)^2
Portanto o numerador fica
(n+1),(n-1)!,(n+1)^2

Passo 5

Agora dividimos pelo denominador (n+1),(n-1)!. Cancelando esse fator comum, sobra
(n+1),(n-1)!,(n+1)^2(n+1),(n-1)! ;=;(n+1)^2,
que é claramente um quadrado perfeito.

Resposta

(n+1)^2 é o valor da expressão, logo é um quadrado perfeito.

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