Seja , onde

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a fração
rs
é irredutível, onde
r = 15n^2 + 8n + 6, s = 30n^2 + 21n + 13,
e n>1 é inteiro. Em outras palavras, precisamos provar que
gcd(r,s) = 1

Passo 2

Aplicamos o algoritmo de Euclides começando por eliminar graus em n. Observe que
s - 2r = (30n^2 + 21n + 13) ;-; 2(15n^2 + 8n + 6) = 5n + 1
Logo
gcd(s,r) = gcd(r,,s-2r) = gcdl(r,,5n+1r)

Passo 3

Ainda pelo algoritmo de Euclides, eliminamos o termo quadrático em r. Note que
r - 3n,(5n+1) = (15n^2 + 8n + 6) ;-; 3n(5n+1) = 5n + 6
Portanto
gcdl(r,,5n+1r) = gcdl(5n+1,;r - 3n(5n+1)r) = gcdl(5n+1,;5n+6r)

Passo 4

Reduzimos ainda mais subtraindo as expressões:
5n+6 ;-;(5n+1) = 5
Logo
gcdl(5n+1,;5n+6r) = gcdl(5n+1,;5r)

Passo 5

Finalmente, como 5n+1equiv1pmod5, temos
gcdl(5n+1,;5r) = gcd(1,5) = 1
Assim concluímos que
gcd(r,s) = 1,
isto é, a fração tfrac rs é irredutível.

Resposta

A fração dfracrs é irredutível, pois gcd(r,s)=1.

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