11.7.17 Mostre que as funções esféricas modificadas de Bessel satisfazem as seguintes relações:
in(x)=i^-n jn(i x),
kn(x)=-i^n hn^(1)(i x),

Passo 1

O enunciado pede para mostrar duas identidades que ligam as funções esféricas modificadas de Bessel in(x) e kn(x) às funções esféricas de Bessel ordinárias jn e hn^(1) avaliadas em argumento imaginário. O conteúdo que vamos usar é:
  1. As definições das funções esféricas em termos das funções cilíndricas Jnu, Inu, Knu e Hnu^(1).
  2. As relações conhecidas entre as funções cilíndricas quando o argumento é multiplicado por i: Inu(x)=i^-nuJnu(i,x), Knu(x)=tfracpi2,i^nu+1,Hnu^(1)(i,x)

Passo 2

Escrevemos as definições de todas as quatro funções esféricas de Bessel envolvidas:
jn(x)=raizpi2x;Jn+tfrac12(x), in(x)=raizpi2x;In+tfrac12(x),
hn^(1)(x)=raizpi2x;Hn+tfrac12^(1)(x), kn(x)=raizpi2x;Kn+tfrac12(x)

Passo 3

Empregamos as duas relações de cilindricas com argumento imaginário:
In+tfrac12(x)=i^-,l(n+tfrac12r)Jn+tfrac12(i,x), Kn+tfrac12(x)=pi2;i^,n+tfrac32;Hn+tfrac12^(1)(i,x)

Passo 4

Para a primeira identidade,
in(x) =raizpi2x;In+tfrac12(x) =raizpi2x;i^-,l(n+tfrac12r)Jn+tfrac12(i,x) =i^-,n,raizpi2,i,x;Jn+tfrac12(i,x) =i^-,n;jn(i,x)
Aqui usamos que raiz1/(i,x)=i^-1/2,raiz1/x para reconstituir exatamente ,jn(i,x).

Passo 5

Para a segunda identidade, análogo:
kn(x) =raizpi2x;Kn+tfrac12(x) =raizpi2x;pi2,i^,n+tfrac32;Hn+tfrac12^(1)(i,x) =l(tfracpi2i^,n+tfrac32r),raizpi2,i,x;Hn+tfrac12^(1)(i,x)
Reagrupando fatores e lembrando que
raiz1/(i,x)=i^-1/2raiz1/x nos dá exatamente
kn(x)=-,i^n;hn^(1)(i,x)

Resposta

in(x)=i^-n;jn(i,x), kn(x)=-,i^n;hn^(1)(i,x)

Exercícios de Livros Relacionados