11.7.17 Mostre que as funções esféricas modificadas de Bessel satisfazem as seguintes relações:
i_{n}(x)=i^{-n} j_{n}(i x),
k_{n}(x)=-i^{n} h_{n}^{(1)}(i x),

Passo 1

O enunciado pede para mostrar duas identidades que ligam as funções esféricas modificadas de Bessel i_n(x) e k_n(x) às funções esféricas de Bessel ordinárias j_n e h_n^{(1)} avaliadas em argumento imaginário. O conteúdo que vamos usar é:
  1. As definições das funções esféricas em termos das funções cilíndricas J_\nu, I_\nu, K_\nu e H_\nu^{(1)}.
  2. As relações conhecidas entre as funções cilíndricas quando o argumento é multiplicado por i: I_{\nu}(x)=i^{-\nu}J_{\nu}(i\,x), \qquad K_{\nu}(x)=\tfrac{\pi}{2}\,i^{\nu+1}\,H_{\nu}^{(1)}(i\,x).

Passo 2

Escrevemos as definições de todas as quatro funções esféricas de Bessel envolvidas:
j_{n}(x)=\sqrt{\frac{\pi}{2x}}\;J_{n+\tfrac12}(x), \qquad i_{n}(x)=\sqrt{\frac{\pi}{2x}}\;I_{n+\tfrac12}(x),
h_{n}^{(1)}(x)=\sqrt{\frac{\pi}{2x}}\;H_{n+\tfrac12}^{(1)}(x), \qquad k_{n}(x)=\sqrt{\frac{\pi}{2x}}\;K_{n+\tfrac12}(x).

Passo 3

Empregamos as duas relações de cilindricas com argumento imaginário:
I_{n+\tfrac12}(x)=i^{-\,\bigl(n+\tfrac12\bigr)}J_{n+\tfrac12}(i\,x), \qquad K_{n+\tfrac12}(x)=\frac{\pi}{2}\;i^{\,n+\tfrac32}\;H_{n+\tfrac12}^{(1)}(i\,x).

Passo 4

Para a primeira identidade,
i_{n}(x) =\sqrt{\frac{\pi}{2x}}\;I_{n+\tfrac12}(x) =\sqrt{\frac{\pi}{2x}}\;i^{-\,\bigl(n+\tfrac12\bigr)}J_{n+\tfrac12}(i\,x) =i^{-\,n}\,\sqrt{\frac{\pi}{2\,i\,x}}\;J_{n+\tfrac12}(i\,x) =i^{-\,n}\;j_{n}(i\,x).
Aqui usamos que \sqrt{1/(i\,x)}=i^{-1/2}\,\sqrt{1/x} para reconstituir exatamente \,j_{n}(i\,x).

Passo 5

Para a segunda identidade, análogo:
k_{n}(x) =\sqrt{\frac{\pi}{2x}}\;K_{n+\tfrac12}(x) =\sqrt{\frac{\pi}{2x}}\;\frac{\pi}{2}\,i^{\,n+\tfrac32}\;H_{n+\tfrac12}^{(1)}(i\,x) =\Bigl(\tfrac{\pi}{2}i^{\,n+\tfrac32}\Bigr)\,\sqrt{\frac{\pi}{2\,i\,x}}\;H_{n+\tfrac12}^{(1)}(i\,x).
Reagrupando fatores e lembrando que
\sqrt{1/(i\,x)}=i^{-1/2}\sqrt{1/x} nos dá exatamente
k_{n}(x)=-\,i^{n}\;h_{n}^{(1)}(i\,x).

Resposta

i_{n}(x)=i^{-n}\;j_{n}(i\,x), \qquad k_{n}(x)=-\,i^{n}\;h_{n}^{(1)}(i\,x).

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