11.7.17 Mostre que as funções esféricas modificadas de Bessel satisfazem as seguintes relações:
,
,
Passo 1
O enunciado pede para mostrar duas identidades que ligam as funções esféricas modificadas de Bessel
e
às funções esféricas de Bessel ordinárias
e
avaliadas em argumento imaginário. O conteúdo que vamos usar é:
- As definições das funções esféricas em termos das funções cilíndricas
, , e . - As relações conhecidas entre as funções cilíndricas quando o argumento é multiplicado por
:
Passo 2
Escrevemos as definições de todas as quatro funções esféricas de Bessel envolvidas:
Passo 3
Empregamos as duas relações de cilindricas com argumento imaginário:
Passo 4
Para a primeira identidade,
Aqui usamos que
para reconstituir exatamente
.
Passo 5
Para a segunda identidade, análogo:
Reagrupando fatores e lembrando que
nos dá exatamente