11.7.3 Use a representação integral de Jnu(x),
Jnu(x)=1pi^1 / 2(nu-12)!(x2)^nu integral-1^1 e^ pm i x p(1-p^2)^nu-1 / 2 d p
para mostrar que as funções esféricas de Bessel jn(x) podem ser expressas em termos de funções trigonométricas, isto é, por exemplo,
j0(x)=sen xx, j1(x)=sen xx^2-cos xx

Passo 1

O enunciado pede que, usando a representação integral de Jnu(x), mostremos que as funções esféricas de Bessel jn(x) podem ser escritas em termos de funções trigonométricas, por exemplo
j0(x)=sin xx, j1(x)=sin xx^2-cos xx
O conteúdo envolve a relação entre o Bessel esférico e o Bessel de primeira espécie com índice meio-inteiro, além de técnicas de integração e diferenciação.

Passo 2

Começamos lembrando a definição
jn(x)=raizpi2x;Jn+12(x)
Na representação integral de Jnu(x) tomamos nu=n+tfrac12, de modo que l(nu-tfrac12r)!=n!. Substituindo,
jn(x) =raizpi2x;1pi^1/2,n!l(x2r)^n+12 integral-1^1e^ixp,(1-p^2)^ndp
O fator fora da integral simplifica para
x^n2^,n+1,n!,
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jn(x) =x^n2^,n+1,n! integral-1^1e^ixp,(1-p^2)^ndp

Passo 3

Para n=0 temos coeficiente tfracx^02^10!=tfrac12 e (1-p^2)^0=1. Então
j0(x) =12integral-1^1e^ixpdp =12l[e^ixpixr]p=-1^1 =e^ix-e^-ix2ix =sin xx

Passo 4

Para n=1 o coeficiente é tfracx2^21!=tfracx4 e
j1(x) =x4integral-1^1e^ixp(1-p^2)dp =x4l(integral-1^1e^ixpdp-integral-1^1p^2e^ixpdpr)
Chamando
I(x)=integral-1^1e^ixpdp=2sin xx,
temos integral-1^1p^2e^ixpdp=-I''(x). Calculando
I'(x) =2,xcos x-sin xx^2, I''(x) =-2sin xx-4cos xx^2+4sin xx^3,
vem
integral-1^1p^2e^ixpdp =2sin xx+4cos xx^2-4sin xx^3,
então
integral-1^1e^ixp(1-p^2)dp =-4cos xx^2+4sin xx^3,
de onde
j1(x) =x4l(-4cos xx^2+4sin xx^3r) =-cos xx+sin xx^2

Resposta

j0(x)=sin xx, j1(x)=sin xx^2-cos xx

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