11.7.3 Use a representação integral de J_{\nu}(x),
J_{\nu}(x)=\frac{1}{\pi^{1 / 2}\left(\nu-\frac{1}{2}\right)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{\nu} \int_{-1}^{1} e^{ \pm i x p}\left(1-p^{2}\right)^{\nu-1 / 2} d p
para mostrar que as funções esféricas de Bessel j_{n}(x) podem ser expressas em termos de funções trigonométricas, isto é, por exemplo,
j_{0}(x)=\frac{\operatorname{sen} x}{x}, \quad j_{1}(x)=\frac{\operatorname{sen} x}{x^{2}}-\frac{\cos x}{x} .

Passo 1

O enunciado pede que, usando a representação integral de J_{\nu}(x), mostremos que as funções esféricas de Bessel j_{n}(x) podem ser escritas em termos de funções trigonométricas, por exemplo
j_{0}(x)=\frac{\sin x}{x},\quad j_{1}(x)=\frac{\sin x}{x^{2}}-\frac{\cos x}{x}.
O conteúdo envolve a relação entre o Bessel esférico e o Bessel de primeira espécie com índice meio-inteiro, além de técnicas de integração e diferenciação.

Passo 2

Começamos lembrando a definição
j_{n}(x)=\sqrt{\frac{\pi}{2x}}\;J_{n+\frac12}(x).
Na representação integral de J_{\nu}(x) tomamos \nu=n+\tfrac12, de modo que \bigl(\nu-\tfrac12\bigr)!=n!. Substituindo,
j_{n}(x) =\sqrt{\frac{\pi}{2x}}\;\frac{1}{\pi^{1/2}\,n!}\Bigl(\frac{x}{2}\Bigr)^{n+\frac12} \int_{-1}^{1}e^{ixp}\,(1-p^{2})^{n}dp.
O fator fora da integral simplifica para
\frac{x^{n}}{2^{\,n+1}\,n!},
logo
j_{n}(x) =\frac{x^{n}}{2^{\,n+1}\,n!} \int_{-1}^{1}e^{ixp}\,(1-p^{2})^{n}dp.

Passo 3

Para n=0 temos coeficiente \tfrac{x^{0}}{2^{1}0!}=\tfrac12 e (1-p^{2})^{0}=1. Então
j_{0}(x) =\frac12\int_{-1}^{1}e^{ixp}dp =\frac12\Bigl[\frac{e^{ixp}}{ix}\Bigr]_{p=-1}^{1} =\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2ix} =\frac{\sin x}{x}.

Passo 4

Para n=1 o coeficiente é \tfrac{x}{2^{2}1!}=\tfrac{x}{4} e
j_{1}(x) =\frac{x}{4}\int_{-1}^{1}e^{ixp}(1-p^{2})dp =\frac{x}{4}\Bigl(\int_{-1}^{1}e^{ixp}dp-\int_{-1}^{1}p^{2}e^{ixp}dp\Bigr).
Chamando
I(x)=\int_{-1}^{1}e^{ixp}dp=\frac{2\sin x}{x},
temos \int_{-1}^{1}p^{2}e^{ixp}dp=-I''(x). Calculando
I'(x) =2\,\frac{x\cos x-\sin x}{x^{2}}, \quad I''(x) =-2\frac{\sin x}{x}-\frac{4\cos x}{x^{2}}+\frac{4\sin x}{x^{3}},
vem
\int_{-1}^{1}p^{2}e^{ixp}dp =2\frac{\sin x}{x}+\frac{4\cos x}{x^{2}}-\frac{4\sin x}{x^{3}},
então
\int_{-1}^{1}e^{ixp}(1-p^{2})dp =-\frac{4\cos x}{x^{2}}+\frac{4\sin x}{x^{3}},
de onde
j_{1}(x) =\frac{x}{4}\Bigl(-\frac{4\cos x}{x^{2}}+\frac{4\sin x}{x^{3}}\Bigr) =-\frac{\cos x}{x}+\frac{\sin x}{x^{2}}.

Resposta

j_{0}(x)=\frac{\sin x}{x}, \quad j_{1}(x)=\frac{\sin x}{x^{2}}-\frac{\cos x}{x}.

Exercícios de Livros Relacionados