11.7.3 Use a representação integral de
,
para mostrar que as funções esféricas de Bessel
podem ser expressas em termos de funções trigonométricas, isto é, por exemplo,
Passo 1
O enunciado pede que, usando a representação integral de
, mostremos que as funções esféricas de Bessel
podem ser escritas em termos de funções trigonométricas, por exemplo
O conteúdo envolve a relação entre o Bessel esférico e o Bessel de primeira espécie com índice meio-inteiro, além de técnicas de integração e diferenciação.
Passo 2
Começamos lembrando a definição
Na representação integral de
tomamos
, de modo que
. Substituindo,
O fator fora da integral simplifica para
logo
Passo 3
Para
temos coeficiente
e
. Então
Passo 4
Para
o coeficiente é
e
Chamando
temos
. Calculando
vem
então
de onde