Prove as seguintes afirmações:
varphi(3 n)=2 varphi(n) Long<=ftrightarrow 3 X n

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
varphi(3n)=2,varphi(n)iff 3nmid n
Aqui o conteúdo usado é a propriedade de multiplicatividade da função totiente de Euler: se gcd(a,b)=1 então varphi(ab)=varphi(a),varphi(b), além do valor varphi(3)=2.

Passo 2

Suponha 3nmid n. Então gcd(3,n)=1 e, pela multiplicatividade,
varphi(3n)=varphi(3),varphi(n)=2,varphi(n)

Passo 3

Suponha agora 3mid n. Escreva n=3k. Então 3n=9k e
varphi(3n)=varphi(9k)=varphi(9),varphi(k)=6,varphi(k),
enquanto
varphi(n)=varphi(3k)=varphi(3),varphi(k)=2,varphi(k)
Logo varphi(3n)=6,varphi(k)=3l(2,varphi(k)r)=3,varphi(n)neq2,varphi(n).

Passo 4

Concluímos que varphi(3n)=2,varphi(n) ocorre exatamente quando 3nmid n.

Resposta

varphi(3n)=2,varphi(n)iff 3nmid n.

Exercícios de Livros Relacionados