Mostre que 0,1,2,2^2, ldots, 2^9 formam um sistema completo de restos, módulo 11, mas que o mesmo não acontece com 0,1^2, 2^2, 3^2, ldots, 10^2.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, em aritmética modular com módulo 11, que o conjunto
,0,2^0,2^1,2^2,dots,2^9
é um sistema completo de restos módulo 11 (isto é, representa todas as classes 0,1,2,dots,10 exatamente uma vez), mas que o conjunto
,0^2,1^2,2^2,3^2,dots,10^2
não é. Para resolver isso vamos usar dois fatos:
  1. Como 11 é primo, o grupo multiplicativo (Z/11Z)^times é cíclico de ordem 10.
  2. O número de resíduos quadráticos módulo primo p é p+12.

Passo 2

Mostramos que 2 é raiz primitiva módulo 11, isto é, o menor k>0 tal que
2^kequiv1pmod11
é k=10. Basta calcular as potências de 2 até k=10:
2^0&equiv1, 2^1&equiv2, 2^2&equiv4, 2^3&equiv8, 2^4&equiv16equiv5, 2^5&equiv5cdot2=10, 2^6&equiv10cdot2=20equiv9, 2^7&equiv9cdot2=18equiv7, 2^8&equiv7cdot2=14equiv3, 2^9&equiv3cdot2=6, 2^10&equiv6cdot2=12equiv1
Como só em k=10 reaparece 1, as potências 2^0,2^1,dots,2^9 são 10 elementos distintos em (Z/11Z)^times.

Passo 3

Do passo anterior concluímos que
,2^0,2^1,dots,2^9
é exatamente o conjunto das 10 classes não-nulas 1,2,3,dots,10 em Z/11Z. Acrescentando 0, obtemos as 11 classes 0,1,2,dots,10, logo
,0,2^0,2^1,dots,2^9
é um sistema completo de restos módulo 11.

Passo 4

Agora calculamos os quadrados de 0,1,2,dots,10 módulo 11:
0^2&equiv0, 1^2&equiv1, 2^2&equiv4, 3^2&equiv9, 4^2&equiv16equiv5, 5^2&equiv25equiv3, 6^2&equiv36equiv3, 7^2&equiv49equiv5, 8^2&equiv64equiv9, 9^2&equiv81equiv4, 10^2&equiv100equiv1
Os valores distintos que aparecem são 0,1,3,4,5,9, apenas 6 classes em vez de 11. Como 11+12=6, isso confirma que há exatamente 6 resíduos quadráticos módulo 11, e portanto
,0^2,1^2,dots,10^2
não forma um sistema completo de restos.

Resposta

O conjunto 0,2^0,2^1,dots,2^9 é um sistema completo de restos módulo 11, enquanto 0^2,1^2,2^2,dots,10^2 não é.

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