Mostre que
formam um sistema completo de restos, módulo 11, mas que o mesmo não acontece com
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar, em aritmética modular com módulo
, que o conjunto
é um sistema completo de restos módulo
(isto é, representa todas as classes
exatamente uma vez), mas que o conjunto
não é. Para resolver isso vamos usar dois fatos:
- Como
é primo, o grupo multiplicativo é cíclico de ordem . - O número de resíduos quadráticos módulo primo
é .
Passo 2
Mostramos que
é raiz primitiva módulo
, isto é, o menor
tal que
é
. Basta calcular as potências de
até
:
Como só em
reaparece
, as potências
são 10 elementos distintos em
.
Passo 3
Do passo anterior concluímos que
é exatamente o conjunto das 10 classes não-nulas
em
. Acrescentando
, obtemos as 11 classes
, logo
é um sistema completo de restos módulo
.
Passo 4
Agora calculamos os quadrados de
módulo
:
Os valores distintos que aparecem são
, apenas 6 classes em vez de 11. Como
, isso confirma que há exatamente 6 resíduos quadráticos módulo
, e portanto
não forma um sistema completo de restos.
Resposta
O conjunto
é um sistema completo de restos módulo
, enquanto
não é.