Mostre que \left(x^{3}+2 x\right) /(2 x+1) é O\left(x^{2}\right).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função f definida por
f(x) = \frac{x^3 + 2x}{2x + 1}
é O(x^2) quando x \to \infty. Vamos usar a definição formal de Big-O: existem constantes C>0 e x_0 tais que
\lvert f(x)\rvert \le C\,x^2 \quad\text{para todo }x\ge x_0.

Passo 2

Para x\ge1 temos 2x+1 \ge 2x. Assim,
\lvert f(x)\rvert = \frac{\lvert x^3 + 2x\rvert}{2x+1} \le \frac{\lvert x^3\rvert + 2\lvert x\rvert}{2x+1} \le \frac{\lvert x\rvert^3 + 2\lvert x\rvert}{2\lvert x\rvert}.

Passo 3

Continuando a estimativa,
\frac{\lvert x\rvert^3 + 2\lvert x\rvert}{2\lvert x\rvert} = \frac{\lvert x\rvert^3}{2\lvert x\rvert} + \frac{2\lvert x\rvert}{2\lvert x\rvert} = \tfrac12\,\lvert x\rvert^2 + 1.
Para \lvert x\rvert\ge1 segue
\lvert f(x)\rvert \le \tfrac12\,\lvert x\rvert^2 + 1 \le \tfrac12\,\lvert x\rvert^2 + \lvert x\rvert^2 = \tfrac32\,\lvert x\rvert^2.

Passo 4

Basta escolher C = \tfrac32 e x_0 = 1. Então para todo x\ge x_0 vale
\lvert f(x)\rvert \le C\,x^2,
o que, pela definição, mostra que f(x) é O(x^2).

Resposta

\frac{x^3 + 2x}{2x + 1} = O(x^2).

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