Mostre que:
|ccccc 1 & 2 & 2 & ldots & 2 2 & 2 & 2 & ldots & 2 2 & 2 & 3 & ldots & 2 ldots ldots ldots ldots ldots ldots ldots ldots & ldots & ldots 2 & 2 & 2 & ldots & n |=-2(n-2)!

Passo 1

O enunciado pede o determinante de ordem n da matriz
A = 1 & 2 & 2 & cdots & 2 2 & 2 & 2 & cdots & 2 2 & 2 & 3 & cdots & 2 vdots & vdots & vdots & ddots & vdots 2 & 2 & 2 & cdots & n
O objetivo é mostrar que
det(A) = -2,(n-2)!
Para isso, vamos usar operações elementares em linhas para obter uma forma triangular em bloco e depois calcular o determinante por fatoração.

Passo 2

Aplicamos, para cada i=3,4,dots,n, a operação de linha
Li Li - L2
Cada uma dessas operações não altera o valor do determinante.

Passo 3

Depois dessas operações, as linhas 3 até n ficam com zeros em todas as colunas exceto na coluna i, onde o novo elemento é
2 - 2 = 0(todas as colunas não-i), ai,i = i - 2 ã
Assim a matriz transformada tem a forma em bloco
A11 & A12 0 & A22 ,
onde
A11 = 1 & 22 & 2, A22 = diag(1,2,dots,n-2)

Passo 4

Como é bloco triangular, o determinante do todo é o produto dos determinantes dos blocos:
det(A) = det(A11);det(A22)
Calculamos
det(A11) = 1cdot 2 ;-; 2cdot 2 = 2 - 4 = -2,
e
det(A22) = 1cdot 2cdot 3cdots (n-2) = (n-2)!

Passo 5

Portanto
det(A) = (-2);(n-2)! = -2,(n-2)!

Resposta

-2,(n-2)!

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