Ex. 8.31 - Mostre que lim n infty 2^cos (n^2+2^n)raizn=0

Passo 1

O enunciado nos pede para determinar
limntoinfty 2^cosl(n^2+2^nr)raizn
Este problema envolve limites de sequência real. Vamos usar que a função cos é limitada entre -1 e 1 e aplicar o teorema do confronto.

Passo 2

Para todo xinR vale
-1 <= cos(x)<= 1

Passo 3

Aplicando a função exponencial de base 2 aos três termos, obtemos
2^-1 <= 2^cos(n^2+2^n) <= 2^1,
isto é,
12 <= 2^cos(n^2+2^n) <= 2

Passo 4

Dividindo por raizn (positivo para n>=1), resulta
0 ;<=; 2^cos(n^2+2^n)raizn ;<=; 2raizn
Como
limntoinfty2raizn = 0,
pelo teorema do confronto concluímos que
limntoinfty2^cos(n^2+2^n)raizn = 0

Resposta

0

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