Ex. 8.21 - Prove que as seguintes sequências divergem:
f) a1=1 an=n!an-1

Passo 1

O enunciado define a sequência (an) por
a1 = 1, an = n!,an-1(n>=2),
e pede para mostrar que (an) diverge. O conteúdo é convergência e divergência de sequências reais e vamos precisar obter uma expressão fechada para an e compará-la com uma sucessão que cresce sem limite.

Passo 2

Vamos obter a forma explícita de an. Da definição recursiva temos
a2 = 2!,a1, a3 = 3!,a2 = 3!,2!,a1, ldots, an = n!,an-1
Por indução simples conclui-se que
an = 1!cdot2!cdot3!cdots n! = prodk=1^nk!

Passo 3

Para mostrar que isso cresce sem limite, note que para todo k>=1 temos
k! = 1cdot2cdot3cdots k ;>=; 1cdot2cdot2cdots 2 = 2^,k-1
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an = prodk=1^nk! ;>=; prodk=1^n2^,k-1 = 2^sumk=1^n(k-1) = 2^n(n-1)2

Passo 4

Como
limntoinfty2^n(n-1)2 = +infty,
segue que
limntoinftyan = +infty ,
isto é, (an) diverge para +infty.

Resposta

A sequência diverge para +infty.

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