+11.
Mostre que lim n infty sn=1, onde sn+1=raiz2-sn e s1=0.

Passo 1

O enunciado define a sequência sn por
s1=0, sn+1=raiz2 - sn
O objetivo é mostrar que limntoinftysn=1. Para isso, vamos tratar de dois pontos: (i) provar que sn fica num intervalo fechado e (ii) mostrar que a função de iteração é uma contração, garantindo a convergência ao ponto fixo.

Passo 2

Mostramos por indução que
0 <= sn <= raiz2 para todo n
Base ( n=1): s1=0in[0,raiz2].
Passo indutivo: suponha 0<= sn<=raiz2. Então
2 - sn in [2-raiz2,,2],
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sn+1=raiz2 - sninl[raiz2-raiz2,,raiz2r]subset[0,raiz2]
Assim sn é limitada no intervalo [0,raiz2].

Passo 3

Definimos f(x)=raiz2 - x. Então sn+1=f(sn). Para usar o teorema do ponto fixo de Banach, calculamos
f'(x)=-12raiz2 - x
Em xin[0,raiz2] temos
l|f'(x)r|<=12raiz2-raiz2<1
Logo f é contração em [0,raiz2], o que implica que sn converge ao único ponto fixo de f nesse intervalo.

Passo 4

O ponto fixo alpha satisfaz
alpha=f(alpha) Longrightarrow alpha=raiz2-alpha
Elevando ao quadrado,
alpha^2=2-alpha Longrightarrow alpha^2+alpha-2=0
cuja solução positiva é alpha=1. Como alphain[0,raiz2], conclui-se alpha=1.

Resposta

limntoinftysn=1.

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