O objetivo é mostrar que . Para isso, vamos tratar de dois pontos: (i) provar que fica num intervalo fechado e (ii) mostrar que a função de iteração é uma contração, garantindo a convergência ao ponto fixo.
Passo 2
Mostramos por indução que
Base (): .
Passo indutivo: suponha . Então
logo
Assim é limitada no intervalo .
Passo 3
Definimos . Então . Para usar o teorema do ponto fixo de Banach, calculamos
Em temos
Logo f é contração em [0,raiz2], o que implica que sn converge ao único ponto fixo de f nesse intervalo.
Passo 4
O ponto fixo alpha satisfaz
alpha=f(alpha) Longrightarrow alpha=raiz2-alpha
Elevando ao quadrado,
alpha^2=2-alpha Longrightarrow alpha^2+alpha-2=0
cuja solução positiva é alpha=1. Como alphain[0,raiz2], conclui-se alpha=1.
Resposta
limntoinftysn=1.
Cálculo - Wilfred Kaplan - Calculo Avancado - Vol 2 - 1ª Edição - Capítulo 8.8.3 - Ex. 11.a