Quais das seguintes sucessões convergem, quais divergem para infty ou -infty, quais divergem sem limite infinito?
cos n pi3

Passo 1

O enunciado pede para classificarmos a sequência
an = cos!l(tfracnpi3r)
dizendo se ela converge, diverge para +infty ou para -infty, ou diverge sem ter limite infinito. Vamos usar o caráter periódico do cosseno para entender o comportamento de an.

Passo 2

Note que cos(x) é 2pi-periódico, ou seja,
cosl(x+2pir)=cos(x)
No nosso caso, como o incremento em x ao passar de n para n+6 é
(n+6)pi3 - npi3 = 2pi,
concluímos que an+6 = an. Logo, a sequência é periódica de período 6.

Passo 3

Vamos listar os seis primeiros termos para ver o padrão:
a1 &= cos!l(tfracpi3r) = tfrac12, a2 &= cos!l(tfrac2pi3r) = -tfrac12, a3 &= cos!l(pir) = -1, a4 &= cos!l(tfrac4pi3r) = -tfrac12, a5 &= cos!l(tfrac5pi3r) = tfrac12, a6 &= cos!l(2pir) = 1
Em seguida a7 = a1 = tfrac12, e assim por diante.

Passo 4

Como a sequência assume repetidamente os valores
1,tfrac12,-tfrac12,-1,-tfrac12,tfrac12, não existe único valor a que ela se aproxima. Além disso ela é claramente limitada (entre -1 e 1), então não diverge para +infty nem para -infty. Portanto ela não converge e não tem limite infinito: ela diverge por oscilação.

Resposta

A sequência diverge sem ter limite infinito (oscila periodicamente).

Exercícios de Livros Relacionados