Mostre que 3 x^{4}+1 é O\left(x^{4} / 2\right) e x^{4} / 2 é O\left(3 x^{4}+1\right).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar duas relações de ordem de crescimento (“big-O”):
  1. \!3x^4+1=O\bigl(\tfrac{x^4}{2}\bigr).
  2. \tfrac{x^4}{2}=O\bigl(3x^4+1\bigr).
    Para isso vamos usar a definição: dizemos f(x)=O(g(x)) se existem constantes C>0 e x_0 tais que, para todo x\ge x_0,
|f(x)| \le C\,|g(x)|.

Passo 2

Mostrando \!3x^4+1=O\bigl(\tfrac{x^4}{2}\bigr).
Para x\ge1 temos
3x^4+1 \le 3x^4 + x^4 = 4x^4.
Mas 4x^4 = 8\cdot\frac{x^4}{2}. Logo, para todo x\ge1,
3x^4+1 \le 8\;\frac{x^4}{2}.
Isso prova a primeira relação com C=8 e x_0=1.

Passo 3

Mostrando \tfrac{x^4}{2}=O\bigl(3x^4+1\bigr).
Para qualquer x\ge0 vale
3x^4+1 \ge 3x^4 \quad\Longrightarrow\quad 3x^4+1 \ge x^4.
Assim
\frac{x^4}{2} \le x^4 \le 3x^4+1.
Portanto, para todo x\ge0,
\frac{x^4}{2} \le 1\cdot\bigl(3x^4+1\bigr).
Isto mostra a segunda relação com C=1 e x_0=0.

Resposta

Mostramos que
3x^4+1 = O\bigl(\tfrac{x^4}{2}\bigr)\quad\text{com }C=8,\;x_0=1,
e
\tfrac{x^4}{2} = O\bigl(3x^4+1\bigr)\quad\text{com }C=1,\;x_0=0.

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