Mostre que, quando n infty,
(1+12 n)^2 n e

Passo 1

O enunciado pede mostrar que, quando ntoinfty,
l(1+tfrac12nr)^2n;longrightarrow;e
O conteúdo é limite de sequência e definição do número e. Vamos usar a técnica de tomar o logaritmo natural para transformar potência em produto.

Passo 2

Definimos
an = l(1+tfrac12nr)^2n
e consideramos o logaritmo natural:
ln an ;=; 2n,ln!l(1+tfrac12nr)

Passo 3

Para avaliar limntoinftyln an, lembramos que
limxto0ln(1+x)x=1
Aqui tomamos x=12n, que vai a zero quando ntoinfty. Logo,
ln an =2nln!l(1+tfrac12nr) =ln!l(1+tfrac12nr)tfrac12n ;longrightarrow;1

Passo 4

Como limntoinftyln an=1 e a função exponencial é contínua, temos
limntoinftyan =limntoinftye^ln an =e^1 =e

Resposta

limntoinftyl(1+tfrac12nr)^2n=e

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