- Mostre que a seguinte função é derivável em
:
Passo 1
O enunciado define a função
e pede para mostrar que ela é derivável em
x=0 . Vamos usar a definição de derivada
e, previamente, garantir que
f(0) está bem definida e
f seja contínua em
0 .
Passo 2
Como
0 é racional, temos
Para a continuidade em
0 , note que se
x é racional então
e se
x é irracional então
Em ambos os casos
|f(x)-f(0)|<= x^2 , e como
limxto0x^2=0 , segue que
limxto0f(x)=f(0) . Logo
f é contínua em
0 .
Passo 3
Usando a definição de derivada em
0 ,
Se
h é racional, então
f(h)h=h^2h=h . Se
h é irracional, então
f(h)h=0h=0 . Em ambos os casos o quociente tende a
0 quando
hto0 . Portanto
Resposta
A função é derivável em
x=0 e