1. Mostre que a seguinte função é derivável em x=0 :
f(x)= x^2 & se x é racional, 0 & se x é irracional éé

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= x^2,&se (x) é racional, 0,&se (x) é irracional, éé
e pede para mostrar que ela é derivável em x=0. Vamos usar a definição de derivada
f'(0)=limhto0f(h)-f(0)h
e, previamente, garantir que f(0) está bem definida e f seja contínua em 0.

Passo 2

Como 0 é racional, temos
f(0)=0^2=0
Para a continuidade em 0, note que se x é racional então
|f(x)-f(0)|=|x^2-0|=x^2,
e se x é irracional então
|f(x)-f(0)|=|0-0|=0
Em ambos os casos |f(x)-f(0)|<= x^2, e como limxto0x^2=0, segue que limxto0f(x)=f(0). Logo f é contínua em 0.

Passo 3

Usando a definição de derivada em 0,
f'(0)=limhto0f(h)-f(0)h =limhto0f(h)h
Se h é racional, então f(h)h=h^2h=h. Se h é irracional, então f(h)h=0h=0. Em ambos os casos o quociente tende a 0 quando hto0. Portanto
f'(0)=0

Resposta

A função é derivável em x=0 e
f'(0)=0

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