1. Mostre que a seguinte função não é derivável em x=0 :
f(x)= x & se x é racional, 0 & se x é irracional éé

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= x & se x é racional, 0 & se x é irracional, éé
e pede para mostrar que f não é derivável em x=0. Para isso, lembramos que f seria derivável em 0 se e somente se existir
f'(0)=limxto0f(x)-f(0)x-0
Como 0 é racional, temos f(0)=0, então o quociente de diferença se reduz a
f(x)-f(0)x-0=f(x)x

Passo 2

Vamos estudar a aproximação por uma sequência de números racionais que tende a zero. Seja
xn=1n,
que é racional e xnto0 quando ntoinfty. Para cada n, como xn é racional, vale f(xn)=xn. Logo, o quociente de diferença é
f(xn)xn=xnxn=1
para todo n. Portanto
limntoinftyf(xn)xn=1

Passo 3

Agora usamos uma sequência de irracionais que tende a zero. Por exemplo,
yn=raiz2n,
que é irracional e ynto0. Para cada n, como yn é irracional, vale f(yn)=0. Assim o quociente de diferença é
f(yn)yn=0yn=0
para todo n. Logo
limntoinftyf(yn)yn=0

Passo 4

Como encontramos duas sequências xnto0 e ynto0 cujo quociente de diferença tende, respectivamente, a 1 e a 0, o limite
limxto0f(x)x
não é único. Logo esse limite não existe e, por consequência, f'(0) não existe.

Resposta

A função f não é derivável em x=0.

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