- Mostre que a seguinte função não é derivável em
:
Passo 1
O enunciado define a função
e pede para mostrar que
f não é derivável em
x=0 . Para isso, lembramos que
f seria derivável em
0 se e somente se existir
Como
0 é racional, temos
f(0)=0 , então o quociente de diferença se reduz a
Passo 2
Vamos estudar a aproximação por uma sequência de números racionais que tende a zero. Seja
que é racional e
xnto0 quando
ntoinfty . Para cada
n , como
xn é racional, vale
f(xn)=xn . Logo, o quociente de diferença é
para todo
n . Portanto
Passo 3
Agora usamos uma sequência de irracionais que tende a zero. Por exemplo,
que é irracional e
ynto0 . Para cada
n , como
yn é irracional, vale
f(yn)=0 . Assim o quociente de diferença é
para todo
n . Logo
Passo 4
Como encontramos duas sequências
xnto0 e
ynto0 cujo quociente de diferença tende, respectivamente, a
1 e a
0 , o limite
não é único. Logo esse limite não existe e, por consequência,
f'(0) não existe.
Resposta
A função
f não é derivável em
x=0 .