Teste para convergência
\sum_{n=1}^{\infty} \ln \left(1+\frac{1}{n}\right)
5.2.7

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série \sum_{n=1}^{\infty} \ln\bigl(1+\tfrac{1}{n}\bigr). Trata-se de uma série numérica, e vamos usar a técnica de soma telescópica explorando propriedades de logaritmos.

Passo 2

Observe que
\ln\bigl(1+\tfrac{1}{n}\bigr) = \ln\bigl(\tfrac{n+1}{n}\bigr)
e, pela propriedade de logaritmos,
\ln\bigl(\tfrac{n+1}{n}\bigr) = \ln(n+1) - \ln(n).

Passo 3

Definindo a soma parcial
S_N = \sum_{n=1}^{N} \ln\bigl(1+\tfrac{1}{n}\bigr)
temos então
S_N = \sum_{n=1}^{N} \bigl[\ln(n+1) - \ln(n)\bigr],
que é telescópica.

Passo 4

Ao expandir, a maioria dos termos se cancela:
S_N = \bigl[\ln(2)-\ln(1)\bigr] + \bigl[\ln(3)-\ln(2)\bigr] + \cdots + \bigl[\ln(N+1)-\ln(N)\bigr] = \ln(N+1) - \ln(1) = \ln(N+1).

Passo 5

Como \lim_{N\to\infty} \ln(N+1) = +\infty, a soma parcial não converge a um valor finito, logo a série diverge.

Resposta

A série \sum_{n=1}^{\infty} \ln\bigl(1+\tfrac{1}{n}\bigr) diverge (para +\infty).

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