Mostre que o sistema abaixo tem solução única:
l 2 x-y+z=3 3 x+2 y-z=1 5 x-y=7

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear com três equações e três incógnitas:
2x - y + z = 3, 3x + 2y - z = 1, 5x - y = 7
O conteúdo é Álgebra Linear, mais especificamente a teoria de sistemas lineares. Para mostrar que ele tem solução única, basta verificar que a matriz dos coeficientes é invertível, isto é, seu determinante é diferente de zero.

Passo 2

Formamos a matriz dos coeficientes
A = 2 & -1 & 1 3 & 2 & -1 5 & -1 & 0
e calculamos det A pela regra de Sarrus ou pela expansão de Laplace:
det A =2cdotdet2 & -1 -1 & 0 -(-1)cdotdet3 & -1 5 & 0 +1cdotdet3 & 2 5 & -1
Agora cada menor:
det2 & -1 -1 & 0 =2cdot0 -(-1)cdot(-1)= -1,
det3 & -1 5 & 0 =3cdot0 -(-1)cdot5 = 5,
det3 & 2 5 & -1 =3cdot(-1) - 2cdot5 = -3 -10 = -13
Substituindo:
det A = 2cdot(-1) -(-1)cdot5 + 1cdot(-13) = -2 + 5 -13 = -10

Passo 3

Como det A = -10neq0, a matriz é invertível. Pelo teorema fundamental de sistemas lineares, isso garante que o sistema tem exatamente uma solução.

Resposta

O sistema tem solução única, pois det A = -10neq0.

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