5.2.17 Uma solução de série para a função ultra-esférica (Gegenbauer)
leva à recorrência
Investigue a convergência de cada uma dessas séries em
como uma função do parâmetro
.
Resposta: Convergente para
, divergente para
.
Resposta: Convergente para
Passo 1
O enunciado mostra que, ao procurar uma solução em série da equação de Gegenbauer em torno de
, obtemos
cujo coeficientes satisfazem a recorrência
O raio de convergência desta série é 1, e a tarefa é investigar se, ao chegar aos pontos
, a soma
converge ou diverge, em função de
.
Passo 2
Extraímos o comportamento assintótico de
para
. Escrevendo
e expandindo para
grande, obtemos
Isto implica, levando em conta que o índice salta de
para
, que
para alguma constante
.
Passo 3
Em
a série torna-se
Uma série do tipo
converge se, e somente se,
. Aqui
Logo em
a série converge exatamente quando
, e diverge para
.
Passo 4
Em
a série fica
Trata-se de uma série alternante cujo termo geral em valor absoluto é
.
- Se
, então , e a soma absoluta converge, logo convergência absoluta. - Se
, o termo não tende a zero com rapidez suficiente (nem tende a zero quando ), de modo que não se satisfazem nem as condições de Leibniz, e a série diverge.
Conclusão: em ambos os pontos
, a série converge apenas para
.
Resposta
Converge para
e diverge para
.