5.2.17 Uma solução de série para a função ultra-esférica (Gegenbauer) C_{n}^{\alpha}(x) leva à recorrência
a_{j+2}=a_{j} \frac{(k+j)(k+j+2 \alpha)-n(n+2 \alpha)}{(k+j+1)(k+j+2)}
Investigue a convergência de cada uma dessas séries em x= \pm 1 como uma função do parâmetro \alpha.
Resposta: Convergente para \alpha<1, divergente para \alpha \geq 1.

Passo 1

O enunciado mostra que, ao procurar uma solução em série da equação de Gegenbauer em torno de x=0, obtemos
y(x)=\sum_{j=0}^\infty a_j\,x^{j+k},
cujo coeficientes satisfazem a recorrência
a_{j+2} = a_{j}\, \frac{(k+j)(k+j+2\alpha)-n(n+2\alpha)}{(k+j+1)(k+j+2)}.
O raio de convergência desta série é 1, e a tarefa é investigar se, ao chegar aos pontos x=\pm1, a soma
\sum_{j=0}^\infty a_j\,(\pm1)^{\,j+k}
converge ou diverge, em função de \alpha.

Passo 2

Extraímos o comportamento assintótico de a_j para j\to\infty. Escrevendo
\frac{a_{j+2}}{a_j} =1+\frac{(k+j)(k+j+2\alpha)-n(n+2\alpha)-(j+k+1)(j+k+2)}{(j+k+1)(j+k+2)},
e expandindo para j grande, obtemos
\frac{a_{j+2}}{a_j} =1+\frac{2\alpha-3}{j}+O\bigl(j^{-2}\bigr).
Isto implica, levando em conta que o índice salta de j para j+2, que
a_j\sim C\;j^{\frac{2\alpha-3}{2}} \quad(j\to\infty),
para alguma constante C\neq0.

Passo 3

Em x=1 a série torna-se
\sum_{j=0}^\infty a_j \sim \sum_{j=0}^\infty j^{\frac{2\alpha-3}{2}}.
Uma série do tipo \sum j^{p} converge se, e somente se, p<-1. Aqui
\frac{2\alpha-3}{2} < -1 \quad\Longleftrightarrow\quad 2\alpha-3 < -2 \quad\Longleftrightarrow\quad \alpha<1.
Logo em x=1 a série converge exatamente quando \alpha<1, e diverge para \alpha\ge1.

Passo 4

Em x=-1 a série fica
\sum_{j=0}^\infty a_j\,(-1)^{\,j+k}.
Trata-se de uma série alternante cujo termo geral em valor absoluto é a_j\sim j^{(2\alpha-3)/2}.
  • Se \alpha<1, então (2\alpha-3)/2< -1, e a soma absoluta \sum|a_j| converge, logo convergência absoluta.
  • Se \alpha\ge1, o termo a_j não tende a zero com rapidez suficiente (nem tende a zero quando \alpha>3/2), de modo que não se satisfazem nem as condições de Leibniz, e a série diverge.
Conclusão: em ambos os pontos x=\pm1, a série converge apenas para \alpha<1.

Resposta

Converge para \alpha<1 e diverge para \alpha\ge1.

Exercícios de Livros Relacionados