Mostre que a transformação
leva qualquer reta pela origem num raio com início na origem; e que
leva retas pela origem em retas pela origem. Generalize para
inteiro positivo.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a ação da transformação
sobre quaisquer retas que passam pela origem no plano complexo. Primeiro com
, depois com
, e por fim para
inteiro positivo em geral. O que vamos usar é a forma polar de
e o comportamento do argumento e do módulo sob potências.
Passo 2
Qualquer reta que passa pela origem pode ser parametrizada como
onde
é o ângulo fixo que determina a direção da reta, e
varia sobre todos os reais (i.e.\ tanto positivos quanto negativos).
Passo 3
No caso
temos
Como
para todo
, o conjunto dos valores de
é
ou seja, um único raio (meia-reta) que parte da origem e faz ângulo
. Assim
leva cada reta pela origem num raio com início na origem.
Passo 4
No caso
fazemos
Agora
pode ser positivo (quando
) ou negativo (quando
). Para
obtemos o raio
,
e para obtemos
,
que é o raio oposto. A união dos dois raios forma exatamente a reta através da origem no ângulo . Logo
leva retas pela origem em retas pela origem.
e para
que é o raio oposto. A união dos dois raios forma exatamente a reta através da origem no ângulo
Passo 5
Generalizando para
vemos que:
- Se
é par, então para todo real , e a imagem é o raio . - Se
é ímpar, assume sinais positivo e negativo, e a imagem é a reta inteira no ângulo .
Resposta
A transformação
leva cada reta pela origem num raio de ângulo
. A transformação
leva retas pela origem em retas pela origem de ângulo
. Em geral,
leva retas pela origem em raios se
for par, e em retas se
for ímpar, sempre dilatando o ângulo original
para
.