Mostre que a transformação w=z^2 leva qualquer reta pela origem num raio com início na origem; e que w=z^3 leva retas pela origem em retas pela origem. Generalize para w=z^n, n inteiro positivo.

Passo 1

O enunciado pede para estudar a ação da transformação
w=z^n
sobre quaisquer retas que passam pela origem no plano complexo. Primeiro com n=2, depois com n=3, e por fim para n inteiro positivo em geral. O que vamos usar é a forma polar de z e o comportamento do argumento e do módulo sob potências.

Passo 2

Qualquer reta que passa pela origem pode ser parametrizada como
z = t,e^iphi0, t in R,
onde phi0 é o ângulo fixo que determina a direção da reta, e t varia sobre todos os reais (i.e.\ tanto positivos quanto negativos).

Passo 3

No caso w=z^2 temos
w = (t,e^iphi0)^2 = t^2,e^i,2phi0
Como t^2>=0 para todo tinR, o conjunto dos valores de w é
,r,e^i,2phi0:r>=0,
ou seja, um único raio (meia-reta) que parte da origem e faz ângulo 2phi0. Assim z^2 leva cada reta pela origem num raio com início na origem.

Passo 4

No caso w=z^3 fazemos
w = (t,e^iphi0)^3 = t^3,e^i,3phi0
Agora t^3 pode ser positivo (quando t>=0) ou negativo (quando t<0). Para t>=0 obtemos o raio
r,e^i,3phi0:r>=0,
e para t<0 obtemos
r,e^i,(3phi0+pi):r>=0,
que é o raio oposto. A união dos dois raios forma exatamente a reta através da origem no ângulo 3phi0. Logo z^3 leva retas pela origem em retas pela origem.

Passo 5

Generalizando para
w = z^n = (t,e^iphi0)^n = t^n,e^i,nphi0,
vemos que:
  • Se n é par, então t^n>=0 para todo real t, e a imagem é o raio r,e^i,nphi0:r>=0.
  • Se n é ímpar, t^n assume sinais positivo e negativo, e a imagem é a reta inteira no ângulo nphi0.

Resposta

A transformação w=z^2 leva cada reta pela origem num raio de ângulo 2phi0. A transformação w=z^3 leva retas pela origem em retas pela origem de ângulo 3phi0. Em geral, w=z^n leva retas pela origem em raios se n for par, e em retas se n for ímpar, sempre dilatando o ângulo original phi0 para nphi0.

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