Prove que a transformação w=a z+b leva retas em retas e círculos em círculos.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a aplicação afim
w = a,z + b, aneq0,;bin C
leva qualquer reta ou círculo no plano z em outra reta ou círculo no plano w. Para isso vamos usar a representação algébrica de “círculos generalizados” (círculos comuns e retas como caso degenerado).

Passo 2

Um conjunto do tipo “reta ou círculo” no plano complexo pode ser escrito como
alpha,zoverline z ;+;beta,z;+;overlinebeta,overline z;+;gamma ;=;0,
onde alpha,gammain R e betain C.
bul<=t Se alpha=0 isso é uma reta (equação linear em z,overline z).
bul<=t Se alphaneq0 isso é um círculo com centro -beta/alpha e raio dado por raiz|beta|^2/alpha^2 - gamma/alpha.

Passo 3

Substituímos z = (w - b)/a nessa equação. Primeiro escrevemos
alpha,(w-b)(overline w-overline b)a,overline a + beta,w-ba + overlinebeta,overline w-overline boverline a + gamma ;=;0
Multiplicando tudo por |a|^2 = a,overline a obtemos
alpha,(w-b)(overline w-overline b) ;+;beta,overline a,(w-b) ;+;overlinebeta,a,(overline w-overline b) ;+;gamma,|a|^2 ;=;0
Se expandirmos, isso tem a forma
alpha,woverline w ;+;underbracel(-alpha,overline b+beta,overline ar)=beta',w ;+;beta',overline w ;+;underbracel(alpha,|b|^2-beta,overline a,b-overlinebeta,a,overline b+gamma,|a|^2r)=gamma' ;=;0,
com beta'in C e gamma'in R.

Passo 4

A equação final em w,
alpha,woverline w ;+;beta',w;+;beta',overline w;+;gamma'=0,
é novamente do mesmo tipo “reta ou círculo”. Logo a imagem de qualquer reta ou círculo pelo mapa w=az+b é outra reta ou outro círculo.

Resposta

A transformação w=a z+b leva retas em retas e círculos em círculos.

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