Prove que a transformação leva retas em retas e círculos em círculos.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a aplicação afim
leva qualquer reta ou círculo no plano em outra reta ou círculo no plano . Para isso vamos usar a representação algébrica de “círculos generalizados” (círculos comuns e retas como caso degenerado).
Passo 2
Um conjunto do tipo “reta ou círculo” no plano complexo pode ser escrito como
onde alpha,gammain R e betain C. bul<=t Se alpha=0 isso é uma reta (equação linear em z,overline z). bul<=t Se alphaneq0 isso é um círculo com centro -beta/alpha e raio dado por raiz|beta|^2/alpha^2 - gamma/alpha.
Passo 3
Substituímos z = (w - b)/a nessa equação. Primeiro escrevemos
alpha,(w-b)(overline w-overline b)a,overline a + beta,w-ba + overlinebeta,overline w-overline boverline a + gamma ;=;0
Multiplicando tudo por |a|^2 = a,overline a obtemos
alpha,(w-b)(overline w-overline b) ;+;beta,overline a,(w-b) ;+;overlinebeta,a,(overline w-overline b) ;+;gamma,|a|^2 ;=;0
Se expandirmos, isso tem a forma
alpha,woverline w ;+;underbracel(-alpha,overline b+beta,overline ar)=beta',w ;+;beta',overline w ;+;underbracel(alpha,|b|^2-beta,overline a,b-overlinebeta,a,overline b+gamma,|a|^2r)=gamma' ;=;0,
com beta'in C e gamma'in R.
Passo 4
A equação final em w,
alpha,woverline w ;+;beta',w;+;beta',overline w;+;gamma'=0,
é novamente do mesmo tipo “reta ou círculo”. Logo a imagem de qualquer reta ou círculo pelo mapa w=az+b é outra reta ou outro círculo.
Resposta
A transformação w=a z+b leva retas em retas e círculos em círculos.
Cálculo - Geraldo Ávila - Variáveis Complexas e Aplicações - 3ª Edição - Capítulo 7.A transformação de Möbius - Ex. 3