Prove que a composição de transformações de Möbius é associativa, isto é, A(B C)= (A B) C, quaisquer que sejam as transformações de Möbius A, B e C.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dadas três transformações de Möbius A, B e C, vale sempre
Al(Bcirc Cr);=;l(Acirc Br)C
O conteúdo é que toda transformação de Möbius
f(z)=az+bcz+d, ad-bcneq0,
pode ser representada por uma matriz 2times2 até escalar, e que a composição de transformações corresponde ao produto de matrizes.

Passo 2

Associe a cada transformação de Möbius
f(z)=az+bcz+d
a matriz
Mf=a & b[6pt]c & d
Sejam
MA,;MB,;MC
as matrizes associadas a A, B e C. Então a composição Acirc B corresponde à transformação de Möbius definida pela matriz
MAcirc B=MA,MB ]

Passo 3

Sabemos da álgebra matricial que o produto de matrizes é associativo, isto é, para quaisquer matrizes compatíveis vale
MA,(MB,MC);=;(MA,MB),MC

Passo 4

Pela correspondência entre composição de Möbius e produto de matrizes temos
Al(Bcirc Cr)long<=ftrightarrow MA,(MB,MC),
l(Acirc Br)Clong<=ftrightarrow (MA,MB),MC
Pela associatividade matricial, essas duas matrizes coincidem, logo as duas composições produzem a mesma transformação de Möbius.

Resposta

Fica assim demonstrado que A(B C)=(A B)C, ou seja, a composição de transformações de Möbius é associativa.

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