Prove que a composição de transformações de Möbius é associativa, isto é,
, quaisquer que sejam as transformações de Möbius
e
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dadas três transformações de Möbius
,
e
, vale sempre
O conteúdo é que toda transformação de Möbius
pode ser representada por uma matriz
até escalar, e que a composição de transformações corresponde ao produto de matrizes.
Passo 2
Associe a cada transformação de Möbius
a matriz
Sejam
as matrizes associadas a
,
e
. Então a composição
corresponde à transformação de Möbius definida pela matriz
Passo 3
Sabemos da álgebra matricial que o produto de matrizes é associativo, isto é, para quaisquer matrizes compatíveis vale
Passo 4
Pela correspondência entre composição de Möbius e produto de matrizes temos
Pela associatividade matricial, essas duas matrizes coincidem, logo as duas composições produzem a mesma transformação de Möbius.
Resposta
Fica assim demonstrado que
, ou seja, a composição de transformações de Möbius é associativa.