Verifique que a transformação w=1 / z leva:
círculo pela origem em reta que não passa pela origem;

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a transformação de M"{o}bius
w = 1z
leva qualquer círculo que passe pela origem no plano- z em uma reta que não passa pela origem no plano- w.
Conteúdo: propriedades de transformações de M"{o}bius (mapeiam círculos/retas em círculos/retas) e manipulação de equações de círculos.

Passo 2

Representamos um círculo genérico que passa pela origem por
l|z - ar| = R
com R = |a|, pois isso garante que z=0 satisfaz l|0 - ar|=|a|=R.

Passo 3

Substituímos z = 1/w na equação do círculo:
l|tfrac1w - ar| = R
Multiplicando ambos os lados por |w|, obtemos
l|1 - a,wr| = R,|w|

Passo 4

Elevando ao quadrado para eliminar o valor absoluto:
l|1 - a,wr|^2 = R^2,|w|^2
Escrevendo l|1 - a,wr|^2 = (1 - a,w)(1 - a,w) e usando R^2=|a|^2, temos
1 - a,w - a,w + |a|^2|w|^2 = |a|^2|w|^2,
que simplifica para
1 - a,w - a,w = 0

Passo 5

Reescrevendo a,w + a,w = 1 em termos da parte real, note que
a,w + a,w = 2Re(a,w),
logo a imagem é a reta
Rel(a,wr) = tfrac12
Como em w=0 isso daria Re(acdot0)=0neqtfrac12, a reta não passa pela origem.

Resposta

A imagem de qualquer círculo que passe por 0 sob w=1/z é a reta
Rel(a,wr) = tfrac12,
que de fato não contém w=0.

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