Prove que a composta de duas transformações de Möbius é novamente uma transformação de Möbius.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se
f(z)=a1z+b1c1z+d1 e g(z)=a2z+b2c2z+d2,
com a1d1-b1c1neq0 e a2d2-b2c2neq0, então a composta
h(z)=fl(g(z)r)
também é da forma
h(z)=Az+BCz+D
com AD-BCneq0. O conteúdo é a definição de transformação de M"obius e o fato de que sua representação em matriz 2times 2 torna evidente o fechamento sob composição.

Passo 2

Definimos
f(z)=a1z+b1c1z+d1, g(z)=a2z+b2c2z+d2,
onde det M1=a1d1-b1c1neq0 e det M2=a2d2-b2c2neq0. Cada transforma\c{c}~ao de M"obius corresponde `a matriz
M1=a1 & b1 c1 & d1, M2=a2 & b2 c2 & d2

Passo 3

Escrevemos a composta
h(z)=fl(g(z)r) =a1,l(a2z+b2c2z+d2r)+b1 c1,l(a2z+b2c2z+d2r)+d1
Para simplificar, colocamos num denominador comum (c2z+d2):

Passo 4

O numerador torna-se
a1(a2z+b2)+b1(c2z+d2) =(a1a2+b1c2),z+(a1b2+b1d2),
e o denominador torna-se
c1(a2z+b2)+d1(c2z+d2) =(c1a2+d1c2),z+(c1b2+d1d2)
Logo
h(z) =(a1a2+b1c2),z+(a1b2+b1d2) (c1a2+d1c2),z+(c1b2+d1d2),
que é da forma Az+BCz+D com
A=a1a2+b1c2, B=a1b2+b1d2, C=c1a2+d1c2, D=c1b2+d1d2

Passo 5

Falta ver que AD-BCneq0. Mas note que representar a transformação pela matriz
M1M2 =a1 & b1 c1 & d1 a2 & b2 c2 & d2 =A & B C & D
det(M1M2)=det M1cdotdet M2 =(a1d1-b1c1)(a2d2-b2c2)neq0
Como det(M1M2)=AD-BC, segue AD-BCneq0.

Resposta

A composi\c{c}~ao de duas transforma\c{c}~oes de M"obius
f(z)=a1z+b1c1z+d1, g(z)=a2z+b2c2z+d2
'e novamente da forma
h(z)=Az+BCz+D,
com
detA & B C & D =(a1d1-b1c1)(a2d2-b2c2)neq0,
ou seja, h 'e uma transforma\c{c}~ao de M"obius.

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