Prove que a composta de duas transformações de Möbius é novamente uma transformação de Möbius.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se
com
e
, então a composta
também é da forma
com
. O conteúdo é a definição de transformação de M"obius e o fato de que sua representação em matriz
torna evidente o fechamento sob composição.
Passo 2
Definimos
onde
e
. Cada transforma\c{c}~ao de M"obius corresponde `a matriz
Passo 3
Escrevemos a composta
Para simplificar, colocamos num denominador comum
:
Passo 4
O numerador torna-se
e o denominador torna-se
Logo
que é da forma
com
Passo 5
Falta ver que
. Mas note que representar a transformação pela matriz
dá
Como
, segue
.
Resposta
A composi\c{c}~ao de duas transforma\c{c}~oes de M"obius
'e novamente da forma
com
ou seja,
'e uma transforma\c{c}~ao de M"obius.