Prove que a transformação w=z+b leva círculos em círculos.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a transformação
w = z + b
leva círculos em círculos. O conteúdo é geometria no plano complexo, em que um círculo é definido por
C = ,zmid |z - z0| = R,
onde z0 é o centro e R>0 é o raio.

Passo 2

Tomemos um círculo genérico
C = ,zmid |z - z0| = R
Sob a transformação w = z + b, cada ponto z é enviado em w, e temos
z = w - b
Substituindo em |z - z0| = R
l|,w - b - z0r| = R,
ou seja,
l|,w - (z0 + b)r| = R
Isso é exatamente a equação de um círculo de centro z0+b e raio R.

Resposta

A transformação w = z + b leva o círculo
,zmid |z - z0| = R
no círculo
,wmid |w - (z0 + b)| = R,
prova de que círculos são levados em círculos.

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