(Noruega-97) Seja ABCD um trapézio com AB e CD paralelos, \angle \mathrm{D}=2 \angle \mathrm{~B}, \mathrm{AD}=5 e \mathrm{CD}= 2. Determine AB .

Passo 1

O enunciado diz que temos um trapézio ABCD com as bases paralelas AB\parallel CD, em que \angle D=2\angle B, AD=5 e CD=2. Precisamos encontrar AB. Para isso vamos posicionar o trapézio num sistema de coordenadas, usar produto escalar para calcular cossenos dos ângulos em D e em B, e impor a relação \angle D=2\angle B junto com a identidade de cosseno duplo.

Passo 2

Escolhemos
\displaystyle A=(0,0),
\displaystyle B=(a,0) com a=AB,
\displaystyle D=(d,-h),
\displaystyle C=(d+2,-h),
onde h>0 e de AD=5 segue
d^2+h^2=25.

Passo 3

No vértice D, os vetores são
\overrightarrow{DA}=(-d,h) e \overrightarrow{DC}=(2,0).
Pelo produto escalar,
\cos\angle D =\frac{\overrightarrow{DA}\cdot\overrightarrow{DC}}{\|\overrightarrow{DA}\|\|\overrightarrow{DC}\|} =\frac{-2d}{5\cdot2} =-\frac{d}{5}.

Passo 4

No vértice B, os vetores são
\overrightarrow{BA}=(-a,0) e \overrightarrow{BC}=(d+2-a,-h).
Então
\cos\angle B =\frac{\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}}{\|\overrightarrow{BA}\|\|\overrightarrow{BC}\|} =\frac{-a(d+2-a)}{a\sqrt{(d+2-a)^2+h^2}} =-\frac{d+2-a}{\sqrt{(d+2-a)^2+h^2}}.

Passo 5

Como \angle D=2\angle B, vale
\cos\angle D =\cos(2\angle B) =2\cos^2\angle B-1.
Substituindo \cos\angle D=-\tfrac{d}{5} e \cos\angle B da expressão anterior e usando h^2=25-d^2, obtemos após simplificar
(d+2-a)^2=(5-d)^2.

Passo 6

Da equação (d+2-a)^2=(5-d)^2 vêm duas possibilidades:
  1. d+2-a=5-d que leva a a=2d-3, o que não pode satisfazer simultaneamente a>d+2 nem d^2+h^2=25 com h>0 de modo não degenerado;
  2. d+2-a=-(5-d), que dá imediatamente
a=7.

Passo 7

Verificamos que a=7>2 (maior que CD) e existe d\in(0,5), h=\sqrt{25-d^2}>0 tornando o trapézio válido e \angle B agudo (pois a>d+2 implica \cos\angle B>0). Logo a única solução admissível é
AB=a=7.

Resposta

AB=7.

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