Seja
um ponto no interior de
. Sejam D , E e F os pés das perpendiculares desde P à
e AB , respectivamente. Se os três quadriláteros
e CDPE são circunscritíveis, prove que P é o encontro das bissetrizes de
.
Passo 1
O enunciado dá um triângulo
e um ponto interior
. Sejam
as projeções de
em
, respectivamente. Diz-se que os quadriláteros
,
e
são circunscritíveis (têm um círculo inscrito). Queremos provar que
é o incentro de
, isto é, que
está no encontro das bissetrizes de
.
Conteúdo: quadrilátero tangencial e Propriedade das somas de lados opostos.
Conteúdo: quadrilátero tangencial e Propriedade das somas de lados opostos.
Passo 2
Lembrete: um quadrilátero é circunscritível (ou tangencial) se, e somente se, a soma das comprimentos de um par de lados opostos é igual à soma dos comprimentos do outro par de lados opostos.
Em particular, para tangencial vale
Em particular, para
Como
,
e
são, por definição, as distâncias de
a
,
e
, chamemos
Passo 3
Aplicando a condição de tangencialidade a cada quadrilátero, obtemos três igualdades:
- Em
:
- Em
:
- Em
:
Passo 4
Agora somamos as três igualdades membro a membro:
Reagrupando,
Cancelando
dos dois lados, sobra
Passo 5
Observe que, ao percorrer o contorno do triângulo
, vale
Somando as três equações:
Por outro lado, da igualdade do Passo 4 temos
Reescrevendo cada soma de dois termos como parte de um dos três lados de
, vemos que essa igualdade só pode ocorrer se, na verdade,
Passo 6
Concluímos então que
isto é,
tem mesma distância a
,
e
.
Passo 7
Num triângulo, o único ponto interior equidistante das três retas que contêm os lados é o incentro. Logo
é o incentro de
, e assim
é o encontro das bissetrizes internas de
.