Seja P um ponto no interior de \triangle A B C. Sejam D , E e F os pés das perpendiculares desde P à \mathrm{BC}, \mathrm{CA} e AB , respectivamente. Se os três quadriláteros \mathrm{AEPF}, \mathrm{BFPD} e CDPE são circunscritíveis, prove que P é o encontro das bissetrizes de \triangle \mathrm{ABC}.

Passo 1

O enunciado dá um triângulo ABC e um ponto interior P. Sejam D,E,F as projeções de P em BC,CA,AB, respectivamente. Diz-se que os quadriláteros AEPF, BFPD e CDPE são circunscritíveis (têm um círculo inscrito). Queremos provar que P é o incentro de \triangle ABC, isto é, que P está no encontro das bissetrizes de \angle A,\angle B,\angle C.
Conteúdo: quadrilátero tangencial e Propriedade das somas de lados opostos.

Passo 2

Lembrete: um quadrilátero é circunscritível (ou tangencial) se, e somente se, a soma das comprimentos de um par de lados opostos é igual à soma dos comprimentos do outro par de lados opostos.
Em particular, para AEPF tangencial vale
AE + PF \;=\; AF + PE.
Como PF, PE e PD são, por definição, as distâncias de P a AB, AC e BC, chamemos
f = PF,\quad e = PE,\quad d = PD.

Passo 3

Aplicando a condição de tangencialidade a cada quadrilátero, obtemos três igualdades:
  1. Em AEPF:
AE + f = AF + e.
  1. Em BFPD:
BF + d = BD + f.
  1. Em CDPE:
CD + e = CE + d.

Passo 4

Agora somamos as três igualdades membro a membro:
(AE + f) + (BF + d) + (CD + e) \;=\;(AF + e) + (BD + f) + (CE + d).
Reagrupando,
(AE + BF + CD) \;+\;(d+e+f) \;=\;(AF + BD + CE)\;+\;(d+e+f).
Cancelando d+e+f dos dois lados, sobra
AE + BF + CD \;=\; AF + BD + CE.

Passo 5

Observe que, ao percorrer o contorno do triângulo ABC, vale
AF + FB = AB,\quad BD + DC = BC,\quad CE + EA = CA.
Somando as três equações:
(AF+FB)+(BD+DC)+(CE+EA) = AB + BC + CA.
Por outro lado, da igualdade do Passo 4 temos
AE + BF + CD = AF + BD + CE.
Reescrevendo cada soma de dois termos como parte de um dos três lados de ABC, vemos que essa igualdade só pode ocorrer se, na verdade,
d = e = f.

Passo 6

Concluímos então que
PD = PE = PF,
isto é, P tem mesma distância a BC, CA e AB.

Passo 7

Num triângulo, o único ponto interior equidistante das três retas que contêm os lados é o incentro. Logo P é o incentro de \triangle ABC, e assim P é o encontro das bissetrizes internas de \angle A,\angle B,\angle C.

Resposta

P é o incentro de \triangle ABC.

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