(Novo México-95)
lado
de um quadrilátero inscritível ABCD é o diâmetro do circuncírculo e
. Qual o comprimento do diâmetro AB ?
Passo 1
O enunciado nos dá um quadrilátero ciclí-co
em que
é diâmetro do circuncí-rculo e os lados satisfazem
e
. Queremos determinar o comprimento de
. Para isso usaremos o fato de que um ângulo inscrito num semicírculo é reto e o teorema de Ptolemy para quadriláteros ciclí-cos.
Passo 2
Como
é diâmetro, qualquer triângulo que tenha
como hipotenusa é retângulo no terceiro vértice. Assim:
– é retângulo em
, logo
–
–
é retângulo em
, logo
Passo 3
Substituindo
e
obtemos
Passo 4
Pelo teorema de Ptolemy para quadrilátero ciclí-co
, temos
Como
e
, isto fica
Passo 5
Elevando ao quadrado:
Expandindo e simplificando, obtém-se a equação cúbica
cuja raiz positiva é