(Novo México-95) O lado A B de um quadrilátero inscritível ABCD é o diâmetro do circuncírculo e \mathrm{BC}=7, \mathrm{CD}=\mathrm{DA}=3. Qual o comprimento do diâmetro AB ?

Passo 1

O enunciado nos dá um quadrilátero ciclí-co ABCD em que AB é diâmetro do circuncí-rculo e os lados satisfazem BC=7 e CD=DA=3. Queremos determinar o comprimento de AB. Para isso usaremos o fato de que um ângulo inscrito num semicírculo é reto e o teorema de Ptolemy para quadriláteros ciclí-cos.

Passo 2

Como AB é diâmetro, qualquer triângulo que tenha AB como hipotenusa é retângulo no terceiro vértice. Assim:
\triangle ABC é retângulo em C, logo
AC^2 + BC^2 = AB^2.
\triangle ABD é retângulo em D, logo
AD^2 + BD^2 = AB^2.

Passo 3

Substituindo BC=7 e AD=3 obtemos
AC = \sqrt{AB^2 - 7^2} = \sqrt{AB^2 - 49}, \quad BD = \sqrt{AB^2 - 3^2} = \sqrt{AB^2 - 9}.

Passo 4

Pelo teorema de Ptolemy para quadrilátero ciclí-co ABCD, temos
AC\cdot BD \;=\; AB\cdot CD \;+\; BC\cdot AD.
Como CD=3 e BC=7,\,AD=3, isto fica
\sqrt{AB^2 - 49}\,\sqrt{AB^2 - 9} = 3\,AB + 7\cdot3 = 3\,(AB+7).

Passo 5

Elevando ao quadrado:
(AB^2 - 49)(AB^2 - 9) = 9\,(AB+7)^2.
Expandindo e simplificando, obtém-se a equação cúbica
AB^3 - 67\,AB - 126 = 0,
cuja raiz positiva é
AB = 9.

Resposta

9

Exercícios de Livros Relacionados