O número 3^105+4^105 é divisível por 13,49 , 181 e 379, e não é divisível por 5 ou 11. Como este resultado pode ser confirmado?

Passo 1

O enunciado pede para confirmar que o número
3^105 + 4^105
é divisível por 13, por 49, por 181 e por 379, mas não é divisível por 5 nem por 11.
O conteúdo utilizado será aritmética modular (Teorema de Fermat/Euler) e fatoração de soma de potências ímpares.

Passo 2

Usamos a propriedade de soma de potências ímpares: se mmid n e nm é ímpar, então
a^m + b^m ;m|; a^n + b^n
No nosso caso, 105=3cdot35=5cdot21=7cdot15, e 35, 21 e 15 são ímpares. Logo
3^3+4^3 mid 3^105+4^105, 3^5+4^5 mid 3^105+4^105, 3^7+4^7 mid 3^105+4^105

Passo 3

Calculamos essas somas menores e suas fatorações:
3^3+4^3 = 27 + 64 = 91 = 7 cdot 13,
3^5+4^5 = 243 + 1024 = 1267 = 7 cdot 181,
3^7+4^7 = 2187 + 16384 = 18571 = 7^2 cdot 379
Portanto:
  • 13mid (3^3+4^3) e assim 13mid(3^105+4^105).
  • 181mid(3^5+4^5) e assim 181mid(3^105+4^105).
  • 7^2=49mid(3^7+4^7) e assim 49mid(3^105+4^105).
  • 379mid(3^7+4^7) e assim 379mid(3^105+4^105).

Passo 4

Para ver que não é divisível por 5 nem por 11, aplicamos Fermat:
Para p=5, varphi(5)=4 e 105equiv1pmod4, então
3^105equiv3^1=3, 4^105equiv4^1=4pmod5,
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3^105+4^105equiv3+4=7equiv2pmod5(neq0)
Para p=11, varphi(11)=10 e 105equiv5pmod10, então
3^105equiv3^5=243equiv1, 4^105equiv4^5=1024equiv1pmod11,
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3^105+4^105equiv1+1=2pmod11(neq0)

Resposta

Fica confirmado que 3^105+4^105 é divisível por 13, 49, 181 e 379, e não é divisível por 5 nem por 11.

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