O número áureo é uma constante real irracional, definida como a raiz positiva da equação quadrática obtida a partir de
x+1x=x
Reescreva a equação dada como uma equação quadrática e determine o número áureo.

Passo 1

O enunciado dá a relação
x+1x = x
e pede para reescrevê-la como uma equação quadrática e, em seguida, determinar a sua raiz positiva (o número áureo). Vamos usar manipulação algébrica para obter a forma padrão ax^2+bx+c=0 e depois aplicar a fórmula de Bhaskara para resolver.

Passo 2

Multiplicamos ambos os lados por x para eliminar o denominador:
x+1 = x^2
Em seguida, levamos tudo para um lado, obtendo a forma padrão da equação quadrática:
x^2 - x - 1 = 0

Passo 3

Para resolver
x^2 - x - 1 = 0
usamos a fórmula de Bhaskara, em que a=1, b=-1 e c=-1:
x = -b pm raizb^2 - 4ac2a = -(-1) pm raiz(-1)^2 - 4cdot1cdot(-1)2cdot1 = 1 pm raiz1 + 42 = 1 pm raiz52

Passo 4

As duas raízes são
1 + raiz52 e 1 - raiz52
Como queremos a raiz positiva, escolhemos
1 + raiz52,
que é justamente o número áureo.

Resposta

1 + raiz52

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